Logaritmo de una matriz

En matemática, en particular en análisis, el logaritmo de una matriz es otra matriz tal que su matriz exponencial asociada sea igual a la matriz inicial. Esto corresponde por lo tanto a una generalización de la función escalar del logaritmo y en cierto sentido es la función inversa de la exponenciación de matrices. No todas las matrices poseen un logaritmo e incluso pueden llegar a tener más de un logaritmo asociado, de modo que definir la función logaritmo para matrices debe realizarse con cuidado.

El estudio del logaritmo de matrices conlleva a la Teoría de Lie puesto que cuando una matriz posee un logaritmo entonces ésta es un elemento del Grupo de Lie y su logaritmo es el elemento correspondiente del espacio vectorial del Álgebra de Lie.

Definición

Una matriz $B$ es un logaritmo de la matriz $A$ si la exponencial de $B$ es $A$, esto es:

${\mathrm{e}}^B=A.$

Observaciones

• El logaritmo de una matriz puede ser una matriz compleja aún si todos sus elementos son números reales, si alguno de ellos es negativo.
• En cualquier caso, el logaritmo de una matriz $B$ no es único, es decir existe más de una matriz compleja $A$ tal que $\exp (A)=B$.

Existencia del logaritmo

En el caso de los complejos, la matriz $A$ posee un logaritmo si y solo si es invertible. Este logaritmo no es único, pero si $A$ no tiene valores propios reales negativos, ella tiene un único logaritmo cuyos valores propios se encuentran todos en la banda del plano complejo definido por $\{z\in ℂ;-\pi <\text{Im}(z)<\pi \}$; a este logaritmo le llamamos "logatirmo principal".

Si nos limitamos ahora a las matrices de coeficientes reales, tenemos un criterio más complicado: una matriz real admite un logaritmo real si y solo si ella es invertible y si cada bloque de Jordan corresponde a un valor propio real negativo aparece un número par de veces (En caso contrario, la matriz solamente tendrá logaritmos complejos).

Propiedades

Si $A$ y $B$ son dos matrices definidas positivas tales que $AB=BA$, entonces, para dos logaritmos cualesquiera $A$ y $B$, notados como $\ln (A)$ y $\ln (B)$, tenemos $AB={\mathrm{e}}^{\ln (A)+\ln (B)}$.

Para toda matriz invertible $A$ y elección de logaritmo $\ln (A)$, se tiene que $A^{-1}={\mathrm{e}}^{-\ln (A)}$.

Cálculo de logaritmos

Matrices diagonalizables

Si D es una matriz matriz diagonal (invertible), su logaritmo se obtiene tomando la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los logaritmos de aquellos de D (si todos los coeficientes de D son reales positivos, existe un único logaritmo (con coeficientes reales)).

Más generalmente, si $A$ es una matriz diagonalizable (invertible), podemos por definición escribir $A=PD{P}^{-1}$, donde $D$ es una matriz diagonal y donde $P$ es la matriz de cambio de base correspondiente a una base de vectores de vectores propios de $A$; llamando entonces a $L$ como un logaritmo de $D$, verificamos fácilmente (ver «matriz exponencial») que $\exp (PL{P}^{-1})=P\exp (L)P^{-1}=A$, y entonces tenemos que $PL{P}^{-1}$ es un logaritmo de $A$.

Matrices no diagonalizables

El resultado expuesto anteriormente no se puede aplicar a matrices no diagonalizables tales como $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Poniendo una matriz como ésta bajo la forma normal de Jordan, podemos entonces calcular el logaritmo de los bloques de Jordan. Recordando que estos bloques tienen la forma:

$B=\left(\begin{array}{cccccc}\lambda & 1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& \lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \lambda & 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \lambda & 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& \lambda \end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{cccccc}1& {\lambda }^{-1}& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& {\lambda }^{-1}& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& {\lambda }^{-1}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& 1& {\lambda }^{-1}\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)=\lambda (I+K)$,

donde $K$ es una matriz nilpotente (triangular superior y de diagonal nula), el escalar $\lambda$ no nulo si hemos supuesto a la matriz invertible. Utilizando el desarrollo en serie $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$, sabemos que en el sentido de las series formales de potencias se tiene que $\exp (\ln (1+x))=1+x$, y de este modo (dado que las matrices de las potencias conmutan entre ellas) se tiene también que $\exp (\ln (I+K))=I+K$ en caso de que la serie sea convergente para una matriz $K$ dada. Haciendo el cálculo entonces

$L=\ln B=\ln (\lambda (I+K))=\ln (\lambda I)+\ln (I+K)=(\ln \lambda )I+K-\frac{K^2}{2}+\frac{K^3}{3}-\frac{K^4}{4}+\cdots ,$

la serie es evidentemente convergente, dado que siendo $K$ nilpotente, ella no tiene que un número finito de términos (existe $n\in \mathbb{N}$ tal que $K^m=0$ para todo $m\ge n$); se concluye entonces que $L$ es efectivamente un logaritmo de $B$ (siempre y cuando se asuma invertible para que $\lambda$).

De este modo tenemos por ejemplo que:

$\ln \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$

Véase también

• Exponencial de matrices
• Logaritmo
• Forma canónica de Jordan
• Función inversa