Espacio vectorial

Este artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espacio vectorial. Para una introducción más accesible al concepto, véase Vector

Archivo:Vector space illust.svg

Representación artística de un espacio vectorial.

En álgebra lineal, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.

Historia

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana. Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores. Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.

La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector). Son elementos de R² y R⁴; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.

En 1857, Cayley introdujo la notación matricial que permite una armonización y simplificación de las aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones. En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920. y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

Notación

Dado un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo $K$, se distinguen los elementos de $V$ y los de $K$.

Los elementos de $V$ suelen denotarse por

$𝐮,𝐯,𝐰$

y son llamados vectores.

Dependiendo las fuentes que se consulten, también es común denotarlos por

$\overline{u},\overline{v},\overline{w}$

y si el texto es de física entonces suelen denotarse por

$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$

Mientras que los elementos de $K$ se denotan como

$a,b,\alpha ,\beta$

y son llamados escalares.

Definición

Un espacio vectorial sobre un cuerpo $K$ (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, digamos $V$, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

$\begin{array}{ccccc}\text{Suma}& +:& V\times V& \to & V\\ & & (𝐮,𝐯)& \mapsto & 𝐰=𝐮+𝐯\end{array}$

operación interna tal que:

• Tenga la propiedad conmutativa:

$\mathrm{\forall }𝐮,𝐯\in V:𝐮+𝐯=𝐯+𝐮$

• Tenga la propiedad asociativa:

$\mathrm{\forall }𝐮,𝐯,𝐰\in V:𝐮+(𝐯+𝐰)=(𝐮+𝐯)+𝐰$

• Exista el elemento neutro:

$\mathrm{\exists }𝐞\in V,\mathrm{\forall }𝐮\in V:𝐮+𝐞=𝐞+𝐮=𝐮$

• Exista el elemento simétrico:

$\mathrm{\forall }𝐮\in V,\mathrm{\exists }-𝐮\in V:𝐮+(-𝐮)=𝐞$

Y tenga la operación producto por un escalar:

$\begin{array}{ccccc}\text{Producto}& \cdot :& K\times V& \to & V\\ & & (a,𝐮)& \mapsto & 𝐯=a\cdot 𝐮\end{array}$

operación externa tal que:

• Tenga la propiedad asociativa:

$\mathrm{\forall }𝑎,𝑏\in K,\mathrm{\forall }𝐮\in V:𝑎\cdot (𝑏\cdot 𝐮)=(𝑎\cdot 𝑏)\cdot 𝐮$

• Exista el elemento neutro:

$\mathrm{\exists }e\in K,\mathrm{\forall }𝐮\in V:e\cdot 𝐮=𝐮\cdot e=𝐮$

• Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma vectorial:

$\mathrm{\forall }𝑎\in K,\mathrm{\forall }𝐮,𝐯\in V:𝑎\cdot (𝐮+𝐯)=𝑎\cdot 𝐮+𝑎\cdot 𝐯$

• Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma escalar:

$\mathrm{\forall }𝑎,𝑏\in K,\mathrm{\forall }𝐮\in V:(𝑎+𝑏)\cdot 𝐮=𝑎\cdot 𝐮+𝑏\cdot 𝐮$

Véase también: Espacio euclídeo

Véase también: Vector

Véase también: Representación gráfica de vectores

Observaciones

La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y adición para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.

Para demostrar que un conjunto $V_{}^{}$ es un espacio vectorial:

• Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo $\odot (V,V)$ y $\ast (V,K),$ admiten una redefinición del tipo $+(V,V)=\odot (V,V)$ y $\cdot (K,V)=\ast (V,K)$ cumpliendo las 8 condiciones exigidas.
• Si supiésemos que $V_{}^{}$ es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.
• Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de $V_{}^{}$ tendríamos probados los apartados 5 y 6.
• Si no, se dice lo contrario:

$𝑎𝐯\ne 𝐯𝑎$.

Propiedades

Unicidad del vector neutro de la propiedad 3

supongamos que el neutro no es único, es decir, sean ${\mathrm{𝟎}}_{\mathrm{𝟏}}$ y ${\mathrm{𝟎}}_{\mathrm{𝟐}}$ dos vectores neutros, entonces: $\begin{array}{c}𝐮+{\mathrm{𝟎}}_{\mathrm{𝟏}}=𝐮\\ 𝐮+{\mathrm{𝟎}}_{\mathrm{𝟐}}=𝐮\end{array}\}\Rightarrow$ $𝐮+{\mathrm{𝟎}}_{\mathrm{𝟏}}=𝐮+{\mathrm{𝟎}}_{\mathrm{𝟐}}\Rightarrow$ ${\mathrm{𝟎}}_{\mathrm{𝟏}}={\mathrm{𝟎}}_{\mathrm{𝟐}}\Rightarrow$ $\mathrm{\exists }!\mathrm{𝟎}\in V$

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4

supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean $\mathbf{-}{𝐮}_{\mathrm{𝟏}}$ y $\mathbf{-}{𝐮}_{\mathrm{𝟐}}$ dos vectores opuestos de $𝐮$, entonces, como el neutro es único: $\begin{array}{c}𝐮-{𝐮}_{\mathrm{𝟏}}=\mathrm{𝟎}\\ 𝐮-{𝐮}_{\mathrm{𝟐}}=\mathrm{𝟎}\end{array}\}\Rightarrow$ $𝐮-{𝐮}_{\mathrm{𝟏}}=𝐮-{𝐮}_{\mathrm{𝟐}}\Rightarrow$ $-{𝐮}_{\mathrm{𝟏}}=-{𝐮}_{\mathrm{𝟐}}\Rightarrow$ $\mathrm{\exists }!-𝐮\in V$

Unicidad del elemento $1_{}^{}$ en el cuerpo $K_{}^{}$

supongamos que 1 no es único, es decir, sean $1_1$ y $1_2$ dos unidades, entonces: $\begin{array}{c}𝑎\cdot 1_1=𝑎\\ 𝑎\cdot 1_2=𝑎\end{array}\}\Rightarrow$ $𝑎\cdot 1_1=𝑎\cdot 1_2\Rightarrow$ $1_1=1_2\Rightarrow$ $\mathrm{\exists }!1\in K$

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo $K_{}^{}$

supongamos que el inverso $a_{}^{-1}$ de a, no es único, es decir, sean $a_1^{-1}$ y $a_2^{-1}$ dos opuestos de $a_{}^{}$, entonces, como el neutro es único: $\begin{array}{c}𝑎\cdot {𝑎}_1^{\mathit{-}1}=1\\ 𝑎\cdot {𝑎}_2^{\mathit{-}1}=1\end{array}\}\Rightarrow$ $𝑎\cdot {𝑎}_1^{\mathit{-}1}=𝑎\cdot {𝑎}_2^{\mathit{-}1}\Rightarrow$ ${𝑎}_1^{\mathit{-}1}={𝑎}_2^{\mathit{-}1}\Rightarrow$ $\mathrm{\exists }!{𝑎}^{\mathit{-}1}\in K$

Producto de un escalar por el vector neutro

$𝑎\cdot 𝐮=$ $𝑎\cdot (𝐮+\mathrm{𝟎})=$ $𝑎\cdot 𝐮+𝑎\cdot \mathrm{𝟎}\Rightarrow$ $𝑎\cdot \mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}$

Producto del escalar 0 por un vector

$𝐮=$ $1\cdot 𝐮=$ $(1+0)\cdot 𝐮=$ $1\cdot 𝐮+0\cdot 𝐮=$ $𝐮+0\cdot 𝐮\Rightarrow$ $0\cdot 𝐮=$ $\mathrm{𝟎}$

Si $𝑎\cdot 𝐮=\mathrm{𝟎}\Rightarrow$ $𝑎=0\vee 𝐮=\mathrm{𝟎}.$

• Si $a_{}^{}=0,$ es cierto.
• Si $a\ne 0,$ entonces:

$\mathrm{\exists }!a^{-1}\in K:$ $a^{-1}a=1\Rightarrow$ $u=$ $1u=$ $(a^{-1}a)u=$ $a^{-1}(au)=$ $a^{-1}0=0\Rightarrow$ $u_{}^{}=0.$

Notación

$-au=-(au)$.

Observación

$-au=(-a)u=a(-u)$

• Si $au+a(-u)=a(u-u)=a0=0\Rightarrow$ $a(-u)=-au$
• Si $au+(-a)u=(a-a)u=0u=0\Rightarrow$ $(-a)u=-au$

Primer ejemplo con demostración

Se quiere probar que ${ℝ}^2$ es un espacio vectorial sobre $ℝ$

Si ${ℝ}^2$ juega el papel de $V$ y $ℝ$ el de $K$:

Los elementos:

$𝐮\in V={ℝ}^2=ℝ\times ℝ$

son, de forma genérica:

$𝐮=(u_x,u_y)$

es decir, pares de números reales. Por claridad se conserva la denominación del vector, en este caso u, en sus coordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamente

En $V$ se define la operación suma:

$\begin{array}{cccc}+:& V\times V& ⟶& V\\ & (𝐮,𝐯)& \mapsto & 𝐰=𝐮+𝐯\end{array}$

donde:

$𝐮=(u_x,u_y)$

$𝐯=(v_x,v_y)$

$𝐰=(w_x,w_y)$

y la suma de u y v sería:

$𝐮+𝐯=(u_x,u_y)+(v_x,v_y)=(u_x+v_x,u_y+v_y)=(w_x,w_y)=𝐰$

donde:

$\begin{array}{c}{w}_x=u_x+v_x\\ w_y=u_y+v_y\end{array}$

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.

La operación interna suma tiene las propiedades:

1) La propiedad conmutativa, es decir:

$𝐮+𝐯=𝐯+𝐮,\mathrm{\forall }𝐮,𝐯\in V$

$𝐮+𝐯=$

$(u_x,u_y)+(v_x,v_y)=$

$(u_x+v_x,u_y+v_y)=$

$(v_x+u_x,v_y+u_y)=$

$(v_x,v_y)+(u_x,u_y)=$

$𝐯+𝐮$

$𝐯+𝐮=𝐯+𝐮$

2) La propiedad asociativa:

$(𝐮+𝐯)+𝐰=𝐮+(𝐯+𝐰)$

$((u_x,u_y)+(v_x,v_y))+(w_x,w_y)=(u_x,u_y)+((v_x,v_y)+(w_x,w_y))$

$(u_x+v_x,u_y+v_y)+(w_x,w_y)=(u_x,u_y)+(v_x+w_x,v_y+w_y)$

$(u_x+v_x+w_x,u_y+v_y+w_y)=(u_x+v_x+w_x,u_y+v_y+w_y)$

3) tiene elemento neutro $\mathrm{𝟎}$:

$𝐮+\mathrm{𝟎}=𝐮$

$(u_x,u_y)+(0,0)=(u_x+0,u_y+0)=(u_x,u_y)$

4) tenga elemento opuesto:

$𝐮=(u_x,u_y)$

$\mathbf{-}𝐮=(-u_x,-u_y)$

$𝐮+(\mathbf{-}𝐮)=(u_x,u_y)+(-u_x,-u_y)=(u_x-u_x,u_y-u_y)=(0,0)=\mathrm{𝟎}$

La operación producto por un escalar:

$\begin{array}{cccc}\cdot :& K\times V& ⟶& V\\ & (𝑎,𝐮)& \mapsto & 𝐯=𝑎\cdot 𝐮\end{array}$

El producto de a y u será:

$𝑎\cdot 𝐮=a\cdot (u_x,u_y)=(a\cdot u_x,a\cdot u_y)=(v_x,v_y)=𝐯$

donde:

$\begin{array}{c}{v}_x=a\cdot u_x\\ v_y=a\cdot u_y\end{array}$

esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aun así está bien definida.

5) tenga la propiedad asociativa:

$𝑎\cdot (𝑏\cdot 𝐮)=(𝑎\cdot 𝑏)\cdot 𝐮,\mathrm{\forall }𝑎,𝑏\in K,\mathrm{\forall }𝐮\in V$

Esto es:

$𝑎\cdot (𝑏\cdot 𝐮)=(𝑎\cdot 𝑏)\cdot 𝐮$

$𝑎\cdot (𝑏\cdot (u_x,u_y))=(𝑎\cdot 𝑏)\cdot (u_x,u_y)$

$𝑎\cdot (𝑏\cdot u_x,𝑏\cdot u_y)=(𝑎\cdot 𝑏)\cdot (u_x,u_y)$

$(𝑎\cdot 𝑏\cdot u_x,𝑎\cdot 𝑏\cdot u_y)=(𝑎\cdot 𝑏\cdot u_x,𝑎\cdot 𝑏\cdot u_y)$

6) $1\in R$ sea elemento neutro en el producto:

$1\cdot 𝐮=𝐮,\mathrm{\forall }𝐮\in V$

Que resulta:

$1\cdot 𝐮=𝐮$

$1\cdot (u_x,u_y)=𝐮$

$(1\cdot u_x,1\cdot u_y)=𝐮$

$(u_x,u_y)=𝐮$

Que tiene la propiedad distributiva:

7) distributiva por la izquierda:

$𝑎\cdot (𝐮+𝐯)=𝑎\cdot 𝐮+𝑎\cdot 𝐯,\mathrm{\forall }𝑎\in R,\mathrm{\forall }𝐮,𝐯\in V$

En este caso tenemos:

$𝑎\cdot (𝐮+𝐯)=𝑎\cdot 𝐮+𝑎\cdot 𝐯$

$𝑎\cdot ((u_x,u_y)+(v_x,v_y))=𝑎\cdot (u_x,u_y)+𝑎\cdot (v_x,v_y)$

$𝑎\cdot (u_x+v_x,u_y+v_y)=(𝑎\cdot u_x,𝑎\cdot u_y)+(𝑎\cdot v_x,𝑎\cdot v_y)$

$𝑎\cdot (u_x+v_x,u_y+v_y)=(𝑎\cdot u_x+𝑎\cdot v_x,𝑎\cdot u_y+𝑎\cdot v_y)$

$(𝑎\cdot (u_x+v_x),𝑎\cdot (u_y+v_y))=(𝑎\cdot (u_x+v_x),𝑎\cdot (u_y+v_y))$

8) distributiva por la derecha:

$(𝑎+𝑏)\cdot 𝐮=𝑎\cdot 𝐮+𝑏\cdot 𝐮,\mathrm{\forall }𝑎,𝑏\in R,\mathrm{\forall }𝐮\in V$

Que en este caso tenemos:

$(𝑎+𝑏)\cdot 𝐮=𝑎\cdot 𝐮+𝑏\cdot 𝐮$

$(𝑎+𝑏)\cdot (u_x,u_y)=𝑎\cdot (u_x,u_y)+𝑏\cdot (u_x,u_y)$

$(𝑎+𝑏)\cdot (u_x,u_y)=(𝑎\cdot u_x,𝑎\cdot u_y)+(𝑏\cdot u_x,𝑏\cdot u_y)$

$(𝑎+𝑏)\cdot (u_x,u_y)=(𝑎\cdot u_x+𝑏\cdot u_x,𝑎\cdot u_y+𝑏\cdot u_y)$

$((𝑎+𝑏)\cdot u_x,(𝑎+𝑏)\cdot u_y)=((𝑎+𝑏)\cdot u_x,(𝑎+𝑏)\cdot u_y)$

Queda demostrado que es espacio vectorial.

Ejemplos

Espacio de un elemento

Existe un ejemplo trivial de espacio vectorial, que es el espacio vectorial de un único elemento, $\{0\}$. Dado que todo espacio vectorial tiene al menos un elemento, el elemento neutro de la suma, este espacio es el más pequeño posible.

Cuerpos

Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre sí mismo. Su suma como espacio vectorial es su suma como cuerpo, y el producto por escalares es el producto del cuerpo. Los axiomas de espacio vectorial se satisfacen por las propiedades de las operaciones del cuerpo: la condición de que $(\lambda \mu )v=\lambda (\mu v)$ se cumple por la propiedad asociativa del producto del cuerpo. Por ejemplo, el conjunto de los números reales $ℝ$ es un $ℝ$-espacio vectorial, mientras que el conjunto de los números complejos $ℂ$ es un $ℂ$-espacio vectorial.

Además, todo cuerpo es un espacio vectorial sobre sus subcuerpos. Por ejemplo, los números complejos $ℂ$ forman un $ℝ$-espacio vectorial, ya que los números reales forman un subcuerpo de los complejos.

Espacios de coordenadas

Dado un cuerpo $K$, el conjunto de $n$-tuplas $K^n$ forma un espacio vectorial, donde la suma y el producto por escalares se definen por componentes. Por ejemplo, el plano euclídeo ${ℝ}^2$ es un espacio vectorial donde la suma de dos pares $(a_1,a_2)$ y $(b_1,b_2)$ es $(a_1+b_1,a_2+b_2)$.

Espacios de matrices

Los espacios de matrices de tamaño $m\times n$ sobre un cuerpo $K$ forman un espacio vectorial, donde la suma y el producto por escalares se definen por componentes.

Espacios de polinomios

El espacio de polinomios $K[X]$ (formado por los polinomios en la variable $X$ y con coeficientes en un cuerpo $K$) es un espacio vectorial con la suma y el producto por escalares de los polinomios. Dados dos polinomios $p=a_0+a_{1}X+\cdots +a_n{X}^n$ y $q=b_0+b_{1}X+\cdots +b_n{X}^n$, su suma será el polinomio

$p+q=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)X+\cdots +(a_n+b_n)X^n$,

mientras que el producto de un escalar $\lambda \in K$ por el polinomio $p$ será

$\lambda p=(\lambda a_0)+(\lambda a_1)X+\cdots +(\lambda a_n)X^n$.

Multiplicar un polinomio por un escalar nunca da lugar a un polinomio de mayor grado que el original, mientras que sumar dos polinomios tampoco resultará en un polinomio de grado mayor que el mayor de los grados de los sumandos. Debido a esto, las operaciones suma y producto por escalares son cerradas en el subconjunto de polinomios de grado menor o igual que $n$, denotado aquí por $K_n[X]$. Por lo tanto, el subconjunto $K_n[X]$ es también un espacio vectorial para cualquier grado $n$.

Véase también: Operaciones con polinomios

Espacios de funciones

Archivo:FuncionesComoEV.GIF

Suma de dos funciones $f(x)=x+x^2$ y $g(x)=-x^2$. El resultado $f+g$ toma en cada punto $x$ el valor $f(x)+g(x)$.

Se pueden definir las operaciones de espacio vectorial para muchas de las funciones de interés en el cálculo o el análisis matemático. Por ejemplo, con las funciones de variable real que toman valores reales: la suma $f+g$ de dos funciones $f$ y $g$ se definiría en cada punto $x\in ℝ$ a partir de los valores de $f$ y de $g$ en $x$ como

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$.

Del mismo modo, el producto $\lambda f$ de una función $f$ por un escalar $\lambda \in ℝ$ se definiría como

$(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$ en cada punto $x\in ℝ$.

Cuando el espacio de interés está compuesto por funciones que tienen una determinada propiedad, se tendrá un espacio vectorial si sumar dos funciones o multiplicarlas por escalares mantienen dicha propiedad; esto es equivalente a exigir que la suma sea una operación interna y el producto por escalares una operación externa. Por ejemplo, en el caso de las funciones reales de variable real que son continuas: puesto que

• sumar dos funciones continuas da lugar a una función continua y
• multiplicar una función continua por un número real da lugar a una función continua,

se deduce que las funciones continuas forman un espacio vectorial sobre los números reales, en ocasiones denotado $C(ℝ)$. Otros ejemplos de espacios vectoriales de este tipo son las funciones derivables y, en general, las funciones derivables de clase $C^k$ y las infinitamente derivables; también las funciones integrables dan lugar a espacios vectoriales.

Otros espacios funcionales de interés son los espacios $L^p$ y los espacios de Sóbolev, que son un ejemplo de espacios vectoriales con estructura adicional (espacios normados). Son de utilidad en teoría de la medida y el análisis funcional.

Bases y dimensión de un espacio vectorial

Archivo:VectorGenerado.gif

Cada vector $u$ es combinación lineal de forma única de los vectores $v_1$ y $v_2$.

Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores respecto de los cuales se puede expresar cualquier otro vector del espacio de manera única. Si $V$ es un espacio vectorial sobre un cuerpo $K$, se dirá que los vectores $v_1,v_2,\dots ,v_n\in V$ formarán una base de $V$ si se cumplen las siguientes dos condiciones:

• Ser un sistema generador: para cualquier otro vector $v\in V$, existen unos escalares ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n\in K$ tales que el vector $v$ se puede expresar como la combinación lineal

$v=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i={\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\cdots +{\lambda }_n{v}_n$.

• Ser un conjunto linealmente independiente: ninguno de los vectores $v_1,v_2,\dots ,v_n$ puede escribirse como combinación lineal de los demás.

Las dos condiciones juntas conllevan, además, que la elección de escalares de la combinación lineal es única: si un vector se puede expresar simultáneamente como $v={\lambda }_1{v}_1+\cdots +{\lambda }_n{v}_n$ y como $v={\mu }_1{v}_1+\cdots +{\mu }_n{v}_n$, necesariamente los escalares deberán ser iguales dos a dos: ${\lambda }_1={\mu }_1,{\lambda }_2={\mu }_2,\dots ,{\lambda }_n={\mu }_n$. A los (únicos) escalares ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ que determinan a un vector $v\in V$ se les llama coordenadas de $v$ respecto de la base $\{v_1,\dots ,v_n\}$.

Existen espacios vectoriales que no admiten ninguna base con una cantidad finita de vectores. Por ejemplo, en el espacio de todos los polinomios en una variable, una base con una cantidad finita de polinomios no podrá representar a ningún polinomio de grado mayor que el de los polinomios de la base. Aunque un espacio vectorial tenga una base infinita, los elementos del espacio deben poder escribirse como una combinación lineal finita de vectores de la base.

Archivo:BaseGeneradora.gif

Distintas bases $\{v_1,v_2\}$ del plano. Las coordenadas del vector $u$ serán distintas en cada caso.

Un espacio vectorial puede tener más de una base, en cuyo caso todas sus bases deberán estar formadas por el mismo número de vectores, llamado dimensión del espacio. Si ninguna de las bases del espacio es finita, entonces se dirá que el espacio es de dimensión infinita.

Si un espacio vectorial tiene dos bases distintas, las coordenadas de un vector serán distintas dependiendo de la base que se escoja. La relación entre las coordenadas de un vector en una base y sus coordenadas en otra viene dada por las matrices de cambio de base.

Todos los espacios vectoriales poseen, al menos, una base; para demostrar que esto es así cuando el espacio no admite bases finitas es necesario el lema de Zorn.

Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales

Dado un cuerpo $K$ y dos espacios vectoriales $V$ y $W$ sobre $K$, una aplicación $K$-lineal es una función $f$ de $V$ a $W$ que verifica que

$f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)$ para dos vectores cualesquiera $v_1,v_2\in V$ y

$f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v)$ para cualquier escalar $\lambda \in K$ y cualquier vector $v\in V$.

En otras palabras, una aplicación $K$-lineal es una función que respeta la estructura de los espacios vectoriales, llevando sumas a sumas y productos por escalares a productos por escalares. Cuando el cuerpo de escalares quede claro por el contexto, estas aplicaciones se denominarán aplicaciones lineales.

Representación matricial

Si los espacios vectoriales $V$ y $W$ son de dimensión finita $m$ y $n$ respectivamente, se puede fijar una base $\{v_1,v_2,\dots ,v_m\}$ de $V$ y una base $\{w_1,w_2,\dots ,w_n\}$ de $W$. Esto permite describir una aplicación lineal $f$ en términos de su matriz coordenada: una matriz $A$ de tamaño $n\times m$ tal que, para cualquier vector $v=x_1{v}_1+\cdots +x_m{v}_m\in V$, las coordenadas de su imagen $f(v)=y_1{w}_1+\cdots +y_n{w}_n\in W$ deben cumplir

$\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right]$.

Núcleo e imagen

Dada una aplicación lineal $f:V\to W$, su imagen, es decir, el subconjunto $\mathrm{Im}(f)$ del espacio $W$ formado por los elementos que son de la forma $f(v)$ para algún $v\in V$, constituye un subespacio vectorial de $W$. Al mismo tiempo, el núcleo de $f$, denotado $\mathrm{Ker}(f)$, que es el conjunto formado por los vectores de $V$ cuya imagen por $f$ es cero, también es un espacio vectorial, subespacio de $V$.

Si el núcleo $\mathrm{Ker}(f)$ es cero (es decir, igual al conjunto formado únicamente por el vector nulo $0\in V$), significa que la aplicación lineal $f$ es inyectiva.

Las dimensiones del núcleo y la imagen de una aplicación lineal $f$ están relacionados mediante la fórmula

$\dim \mathrm{Im}(f)=\dim V-\dim \mathrm{Ker}(f)$.

Isomorfismos de espacios vectoriales

Un tipo especial de aplicación lineal es el isomorfismo. Se dice que $f:V\to W$ es un isomorfismo de espacios vectoriales cuando cumple las siguientes propiedades equivalentes:

• Es inyectiva y suprayectiva (es decir, biyectiva).
• Posee una inversa: una aplicación lineal $g:W\to V$ tal que las composiciones $f\circ g:W\to W$ y $g\circ f:V\to V$ son la función identidad en $W$ y $V$ respectivamente.

Ser suprayectiva significa que el conjunto imagen $\mathrm{Im}(f)$ es igual al espacio de llegada $W$, mientras que ser inyectiva es equivalente a que el núcleo $\mathrm{Ker}(f)$ sea el espacio formado por el vector nulo $0\in V$. Cuando entre dos espacios $V$ y $W$ existe un isomorfismo $f:V\to W$, se dice que los espacios $V$ y $W$ son isomorfos. Dos espacios isomorfos tienen siempre la misma dimensión.

Espacios de aplicaciones lineales y espacio dual

Dados dos espacios vectoriales $V$ y $W$ sobre un cuerpo $K$, el conjunto ${\mathrm{Hom}}_K(V,W)$ de aplicaciones lineales de $V$ a $W$ es un espacio vectorial, donde la suma y el producto por escalares se definen puntualmente. En particular, el espacio dual $V^{\ast }={\mathrm{Hom}}_K(V,K)$ de un espacio $V$ es un espacio vectorial.

Construcción de espacios vectoriales

Además de lo expuesto en los ejemplos anteriores, hay una serie de construcciones que nos proporcionan espacios vectoriales a partir de otros. Además de las definiciones concretas que figuran a continuación, también se caracterizan por propiedades universales, que determina un objeto X especificando las aplicaciones lineales de X a cualquier otro espacio vectorial.

Subespacios vectoriales

Dados un cuerpo $K$ y un espacio vectorial $V$ sobre $K$, un subconjunto no vacío $S\subseteq V$ de $V$ se dice que es un subespacio vectorial de $V$ si:

1. dados dos vectores cualesquiera $u,v\in S$, su suma $u+v$ está contenida en $S$, y
2. dado un vector cualquiera $v\in S$ y un escalar cualquiera $\lambda \in K$, el producto $\lambda v$ está contenido en $S$ (en particular, tomando $\lambda =0$, el vector nulo $0\in V$ también es un elemento de $S$).

Estas dos propiedades convierten a $S$ en un espacio vectorial sobre el cuerpo $K$, dado que el resto de propiedades de la suma y el producto por escalares se cumplen en $S$ por ser un subconjunto de $V$.

Archivo:IntersecciónEspacioVectorial.gif

Dos planos en el espacio que pasan por el origen junto con su intersección, una recta. Son subespacios vectoriales que se pueden describir mediante sistemas homogéneos de ecuaciones en 3 variables.

Por ejemplo, en el $ℝ$-espacio vectorial ${ℝ}^2$, la recta $y=x$ define un subespacio vectorial $S=\{(x,x):x\in ℝ\}$ de ${ℝ}^2$ formado por los puntos que constituyen dicha recta:

1. la suma de dos elementos $(x_1,x_1),(x_2,x_2)$ tiene la forma $(x_1+x_2,x_1+x_2)$, que satisface la ecuación de la recta y, por lo tanto, es un elemento de $S$;
2. al multiplicar $(x_1,x_1)$ por un número real $\lambda$, el resultado $(\lambda x_1,\lambda x_1)$ vuelve a ser un punto de la recta.

Cualquier recta en el plano que pase por el origen dará lugar a un subespacio de ${ℝ}^2$. Por el contrario, la recta $y=x+1$ no da lugar a ningún subespacio, puesto que los puntos de la recta deben tener la forma $(x,x+1)$, con $x$ un número real: al multiplicar cualquiera de ellos por cero se obtiene el punto $(0,0)$, que no forma parte de la recta.

En general, se puede obtener un subespacio vectorial a partir de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo: sistemas de la forma

$\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}{x}_1& +\dots & +a_{1,n}{x}_n& =0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{m,1}{x}_1& +\dots & +a_{m,n}{x}_n& =0\end{array}\}\equiv \left[\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \\ a_{m,1}& \dots & a_{m,n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]⟶A_{}^{}x=0$

Estos sistemas tienen siempre al menos una solución dada por $x_1=x_2=\cdots =x_n=0$, el vector nulo. Además, tanto sumando dos soluciones como multiplicando una solución por un escalar se obtiene una nueva solución. Por lo tanto, el conjunto de soluciones del sistema cumple las condiciones para ser un subespacio vectorial.

Producto de espacios vectoriales

Dado dos espacios vectoriales $V$ y $W$ sobre un mismo cuerpo $K$, su producto cartesiano

$V\times W=\{(v,w):v\in V,w\in W\}$

es un nuevo espacio vectorial, cuyas operaciones suma y producto por escalares se definen por componentes:

• la suma de $(v_1,w_1)$ y $(v_2,w_2)$ es $(v_1+v_2,w_1+w_2)$ y
• el producto de $(v,w)$ por un escalar $\lambda \in K$ es $(\lambda v,\lambda w)$.

La definición de producto se puede extender a un número arbitrario de espacios vectoriales: el producto de los espacios $V_1,V_2,\dots ,V_n$ se definiría como

$V_1\times V_2\times \cdots \times V_n=\{(v_1,v_2,\dots ,v_n):v_1\in V_1,v_2\in V_2,\dots ,v_n\in V_n\}$;

también el producto cartesiano de colecciones infinitas de espacios vectoriales es un espacio vectorial.

Un caso particular se tiene al hacer el producto de múltiples copias del cuerpo $K$: en este caso, el producto de $n$ copias de $K$ se denota como $K^n$, representando a las $n$-tuplas de elementos de $K$.

Intersección de subespacios vectoriales

Dado dos subespacios vectoriales $F,G\subset E$, la intersección es subespacio vectorial contenido en estos y lo notaremos como:

$F\cap G:=\{u:u\in F,u\in G\}$.

Observaciones. Para la intersección sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.

La unión de subespacios vectoriales no es en general un subespacio vectorial.

Suma de subespacios vectoriales

Dado dos subespacios vectoriales $S$ y $T$ de un espacio $V$, se define su suma $S+T$ como el conjunto de todos los elementos de $V$ que se pueden expresar como suma de un elemento de $S$ y otro de $T$:

$S+T:=\{v_1+v_2:v_1\in S,v_2\in T\}$.

La suma $S+T$ así definida es un nuevo subespacio vectorial de $V$, con la propiedad de ser el subespacio vectorial de $V$ más pequeño que contiene a la vez a $S$ y a $T$: concretamente, $S+T$ es el subespacio generado por la unión de $S$ y $T$. Esta definición se extiende para un número arbitrario de subespacios vectoriales, definiéndose la suma de los subespacios $U_1,U_2,\dots ,U_m$ como

$U_1+U_2+\cdots +U_m:=\{u_1+u_2+\cdots +u_m:u_1\in U_1,u_2\in U_2,\dots ,u_m\in U_m\}$.

La dimensión de la suma de subespacios vectoriales de dimensión finita se relaciona con las dimensiones de los subespacios por separado según la fórmula de Grassmann:

$\dim (S+T)=\dim (S)+\dim (T)-\dim (S\cap T)$.

Suma directa de subespacios vectoriales

Un caso especial de la suma de espacios vectoriales, denominado suma directa, se obtiene cuando los dos espacios tienen la menor intersección posible. Dados dos subespacios vectoriales $S$ y $T$ de un espacio $V$, se dice que $S+T$ es una suma directa si $S\cap T=\{0\}$. Para indicar que la suma de dos subespacios es directa se utiliza el símbolo $\oplus$, de manera que $S\oplus T$ se refiere a la suma de dos subespacios $S$ y $T$ cuya intersección es cero.

Una propiedad de la suma directa es que, cuando un espacio $W$ se puede escribir como suma directa $W=S\oplus T$ de dos subespacios $S$ y $T$, todo elemento de $W$ se puede expresar de forma única como suma de un vector de $S$ y otro vector de $T$. Esto permite entender una suma directa como una descomposición de un espacio en algunos de sus subespacios. Por ejemplo, cuando una matriz cuadrada es diagonalizable, se obtiene una descomposición de un espacio vectorial como suma directa de subespacios propios. Otro ejemplo es la descomposición de un espacio con producto escalar como suma directa de un espacio y su complemento ortogonal.

Suma directa externa de espacios vectoriales

La noción de suma directa se puede extender a espacios vectoriales en general, sin necesidad de partir de subespacios de un espacio mayor. Dados dos espacios vectoriales $V$ y $W$, su suma directa $V\oplus W$ es igual a su producto cartesiano $V\times W$; inductivamente, la suma directa de $n$ espacios $V_1,V_2,\dots ,V_n$ es el espacio

$V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_n=V_1\times V_2\times \cdots \times V_n$.

La diferencia entre la suma directa externa y el producto cartesiano solamente existe al operar sobre una colección infinita de espacios vectoriales. En este caso, su suma directa será el subconjunto del producto cartesiano formado por aquellas tuplas infinitas donde solamente un número finito de coordenadas son no nulas. Por ejemplo, para una colección $\{V_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$, su suma directa es:

$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{V}_i=\{(v_1,v_2,\dots )\in \prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_i:\text{ existen }{i}_1,i_2,\dots ,i_n\text{ tales que }{v}_i=0\text{ si }i\ne i_1,i_2,\dots ,i_n\}$.

A este tipo de suma directa también se le llama también suma directa externa.

Cociente de espacios vectoriales

Dado un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo $K$ y un subespacio vectorial $S$ de $V$, se define una relación de equivalencia en $V$ según la cual dos vectores $u,v\in V$ estarán relacionados si su diferencia $u-v$ es un elemento de $S$. El conjunto de todos los vectores relacionados con un vector $v\in V$ dado, denominado clase de equivalencia de $v$ y denotado por $[v]$, verifica que

$[v]=v+S=\{v+u:u\in S\}$.

El espacio cociente de $V$ módulo $S$, denotado $V/S$, es el conjunto de todas las clases de equivalencia para esta relación:

$V/S=\{v+S:v\in V\}$.

El conjunto $V/S$ es un espacio vectorial sobre $K$ con las operaciones siguientes:

• dados dos vectores $u,v\in V$, la suma de sus clases de equivalencia se define como $[u]+[v]=[u+v]$, y
• dado un vector $u\in V$ y un escalar $\lambda \in K$, se define el producto por escalares como $\lambda [u]=[\lambda u]$.

El espacio cociente $V/S$ no es, tal como está construido, un subespacio de $V$. Sin embargo, sí es isomorfo a subespacios de $V$ complementarios a $S$, es decir, subespacios $T$ tales que $V=S\oplus T$. Por ello, $V$ es isomorfo a la suma directa de espacios $S\oplus V/S$, convirtiendo así al cociente en una elección «natural» de complemento de $S$. Este mismo razonamiento conlleva que la dimensión del espacio cociente verifique

$\dim V=\dim S+\dim V/S$;

cuando $V$ y $S$ son de dimensión finita, esto se puede reescribir como

$\dim V/S=\dim V-\dim S$.

Producto tensorial

Dados dos espacios vectoriales $U$ y $V$ sobre un mismo cuerpo $K$, se define el espacio vectorial $F_{U\times V}$ generado por todos los elementos del producto $U\times V$. Sobre el espacio $F_{U\times V}$ se define un espacio cociente a partir del subespacio generado por los elementos expresables de una de las dos formas siguientes:

• $\lambda (u_1,v)+\mu (u_2,v)-(\lambda u_1+\mu u_2,v)$ o
• $\lambda (u,v_1)+\mu (u,v_2)-(u,\lambda v_1+\mu v_2)$,

donde $u,u_1,u_2$ son vectores de $U$, $v,v_1,v_2$ son vectores de $V$ y $\lambda ,\mu$ son escalares en $K$.

El espacio cociente resultante se denomina el producto tensorial de $U$ y $V$, denotado por $U\otimes V$.. La clase de equivalencia de los elementos de la forma $(u,v)\in F_{U\times V}$ se denota $u\otimes v$.

Relación con otras estructuras matemáticas

Desde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se comprenden completamente en la medida en que cualquier espacio vectorial se caracteriza, salvo isomorfismos, por su dimensión. Sin embargo, los espacios vectoriales ad hoc no ofrecen un marco para hacer frente a la cuestión fundamental para el análisis de si una sucesión de funciones converge a otra función. Asimismo, el álgebra lineal no está adaptada per se para hacer frente a series infinitas, ya que la suma solo permite un número finito de términos para sumar. Las necesidades del análisis funcional requieren considerar nuevas estructuras.

Espacios vectoriales topológicos, normados y de Hilbert

Los espacios vectoriales topológicos son un tipo particular de espacio vectorial. Asumiendo que $K$ denota el cuerpo de los números reales o el de los números complejos, para que un espacio vectorial $V$ sobre el cuerpo $K$ se considere un espacio vectorial topológico, el espacio $V$ debe estar equipado con una topología que convierta a $V$ en un espacio topológico y que cumpla que

• para cualquier vector $v\in V$, el conjunto $\{v\}$ sea cerrado,
• la suma en el espacio $V$, entendida como una función $+:V\times V\to V$, sea continua y
• el producto por escalares, entendido como una función $\cdot :K\times V\to V$, sea continuo.

Dentro del grupo de los espacios vectoriales topológicos se hallan los espacios normados. Un espacio normado es un espacio vectorial $V$ dotado de una norma: una función que asigna a cada vector $v\in V$ un número real $\Vert v\Vert$ y que verifica ciertas propiedades:

• la norma de cualquier vector debe ser mayor que cero, excepto en el caso del vector nulo, cuya norma es cero,
• para todo vector $v\in V$ y todo escalar $\lambda \in K$, la norma del producto cumple $\Vert \lambda v\Vert =|\lambda |\Vert v\Vert$, donde $|\lambda |$ denota el valor absoluto de $\lambda$ y
• la desigualdad triangular: dados dos vectores cualesquiera $u,v\in V$, la norma de su suma cumple $\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$.

Algunos ejemplos de espacios normados son los espacios euclídeos ${ℝ}^n$, donde la norma de un vector es su módulo.

En todo espacio normado, la norma da lugar a una función distancia entre vectores, que asigna a cada par de vectores $u,v\in V$ la norma de su diferencia $\Vert u-v\Vert$. Con esta función distancia, el espacio $V$ se convierte en un espacio métrico. Si un espacio normado es completo como espacio métrico, el espacio normado se denomina espacio de Banach.

Un espacio vectorial real también puede ir equipado con un producto escalar: una función que asigna a cada par de vectores $u,v\in V$ un número real $u\cdot v$. Todo espacio con producto escalar es también un espacio normado, debido a que a partir de un producto escalar se puede definir una norma dada por

$\Vert v\Vert =\sqrt{v\cdot v}$ para todo $v\in V$.

De manera análoga, un espacio vectorial complejo también puede llevar asociado un producto interno, que generaliza al producto escalar de los números reales y que también da lugar a una norma.

Los espacios vectoriales dotados de un producto interno se denominan espacios prehilbertianos. Si, además, un espacio prehilbertiano con la norma inducida por el producto interno es un espacio de Banach, el espacio se denomina espacio de Hilbert. Los espacios de Banach y de Hilbert son parte del campo de estudio del análisis funcional, con aplicaciones en el ámbito de la optimización convexa. En la física, los postulados de la mecánica cuántica se basan en espacios de Hilbert sobre los números complejos.

Módulos y álgebras

Los módulos generalizan la noción de espacio vectorial al caso en el que los escalares no pertenezcan a un cuerpo, sino a un anillo (con identidad). Una diferencia notable entre los espacios vectoriales y los módulos es que todo espacio vectorial posee una base, mientras que entre los módulos únicamente los módulos libres tienen una base. Los módulos sobre anillos conmutativos son el objeto de estudio del álgebra conmutativa.

Las álgebras sobre un cuerpo $K$ son aquellos espacios vectoriales sobre $K$ en los que también existe un producto entre dos vectores que es bilineal (es decir, distributivo con respecto de la suma a ambos lados). Los espacios de polinomios en una variable $K[X]$ son un ejemplo de álgebra en la que el producto es el producto usual de polinomios.

En teoría de categorías

En términos de la teoría de categorías, los espacios vectoriales sobre un cuerpo $K$ definen una categoría, denotada en ocasiones ${𝖵𝖾𝖼𝗍}_K$. En esta categoría, los espacios vectoriales son los objetos, mientras que las aplicaciones $K$-lineales son los morfismos de la categoría.

Véase también

• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Base (álgebra)
• Teorema rango-nulidad
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Producto escalar
• Producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial

• Ver el portal sobre Matemática Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Archivo:Wikibooks-logo.svg Wikilibros alberga un libro o manual sobre Espacio vectorial.

Referencias

Referencias históricas

• Banach, Stefan (1922). Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations) (en francés) 3. Fundamenta Mathematicae. ISSN 0016-2736. 
• Bolzano, Bernard (1804). Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) (en alemán). 
• Bourbaki, Nicolas (1969). Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics) (en francés). París: Hermann. 
• Grassmann, Hermann (1844). Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (en alemán). 
• Hamilton, William Rowan (1853). Lectures on Quaternions (en inglés). Royal Irish Academy. 
• Möbius, August Ferdinand (1827). Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) (en alemán). Archivado desde el original el 12 de abril de 2009. 
• Moore, Gregory H. (1995), «The axiomatization of linear algebra: 1875–1940», Historia Mathematica 22 (3): 262-303, ISSN 0315-0860 .
• Peano, Giuseppe (1888). Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (en italiano). Turin. 

Bibliografía

• Castellet, M.; Llerena, I. (1988). «IV espais vectorials». Àlgebra lineal i geometría (en catalán). Publ. UAB. 
• Halmos, Paul R. (1987). Finite-Dimensional Vector Spaces (en inglés) (2ª edición). Springer. ISBN 0-387-90093-4. 
• Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). Linear Algebra (en inglés) (2ª edición). Prentice-Hall, Inc. ISBN 0135367972. 
• Lang, S. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Educativo Interamericano. 
• Queysanne, M., Álgebra Básica, Vicens-Vives. 1973.
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra (en inglés) (2ª edición). Springer. ISBN 0-387-24766-1. 
• Rudin, w., Análisis Funcional (Definición axiomática de espacios vectoriales topológicos introductivamente), Reverté.

Enlaces externos

• Juega con vectores
• Weisstein, Eric W. «Espacio vectorial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• A lecture about fundamental concepts related to vector spaces (given at MIT)
• A graphical simulator for the concepts of span, linear dependency, base and dimension