Matriz diagonal

En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero; el término usualmente hace referencia a matrices cuadradas. Un ejemplo de una matriz diagonal de tamaño $2 \times 2$ es

[\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}]

mientras que un ejemplo de una matriz de tamaño $3 \times 3$ es

[\begin{matrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix}]

La matriz identidad de cualquier tamaño o cualquier múltiplo de ella (una matriz escalar) es una matriz diagonal.

Definición

La matriz $D = (d_{i, j})$ con $n$ columnas y $n$ renglones es diagonal si

d_{i, j} = 0 si i \neq j \forall i, j \in {1, 2, \dots, n}

Los elementos de la diagonal principal de la matriz $D$ pueden tomar cualquier valor.

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Operaciones vectoriales

Multiplicar un vector por una matriz diagonal implica multiplicar cada elemento del vector por el elemento correspondiente de la diagonal. Dada una matriz diagonal $D = diag (a_{1}, \dots, a_{n})$ y un vector $𝐯 = {[\begin{matrix} x_{1} & \dots & x_{n} \end{matrix}]}^{T}$ el producto es:

D 𝐯 = diag (a_{1}, \dots, a_{n}) [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} \\ ⋱ \\ a_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} x_{1} \\ ⋮ \\ a_{n} x_{n} \end{matrix}]

Operaciones matriciales

Las operaciones de suma y multiplicación entre matrices diagonales son muy sencillas. Considere dos matrices diagonales del mismo tamaño $D = diag (a_{1}, \dots, a_{n})$ y $B = diag (b_{1}, \dots, b_{n})$ .

Para la suma de matrices diagonales se tiene

\begin{matrix} D + B & = diag (a_{1}, \dots, a_{n}) + diag (b_{1}, \dots, b_{n}) \\ = [\begin{matrix} a_{1} \\ ⋱ \\ a_{n} \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{1} \\ ⋱ \\ b_{n} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} a_{1} + b_{1} \\ ⋱ \\ b_{n} + b_{n} \end{matrix}] \\ = diag (a_{1} + b_{1}, \dots, a_{n} + b_{n}) \end{matrix}

y para el producto de matrices,

\begin{matrix} D B & = diag (a_{1}, \dots, a_{n}) \cdot diag (b_{1}, \dots, b_{n}) \\ = [\begin{matrix} a_{1} \\ ⋱ \\ a_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{1} \\ ⋱ \\ b_{n} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} a_{1} b_{1} \\ ⋱ \\ a_{n} b_{n} \end{matrix}] \\ = diag (a_{1} b_{1}, \dots, a_{n} b_{n}) \end{matrix}

La matriz diagonal $D = diag (a_{1}, \dots, a_{n})$ es invertible si y sólo si las entradas $a_{1}, \dots, a_{n}$ son todas distintas de 0. En este caso, se tiene

D^{- 1} = diag (a_{1}, \dots, a_{n})^{- 1} = diag (a_{1}^{- 1}, \dots, a_{n}^{- 1})

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de $n \times n$ .

Multiplicar la matriz $A$ por la izquierda con $diag (a_{1}, \dots, a_{n})$ equivale a multiplicar la $i$ -ésima fila de $A$ por $a_{i}$ para todo $i$ . Multiplicar la matriz $A$ por la derecha con $diag (a_{1}, \dots, a_{n})$ equivale a multiplicar la $i$ -ésima columna de $A$ por $a_{i}$ para todo $i$ .

Propiedades

El determinante de $diag (a_{1}, \dots, a_{n})$ es igual al producto $a_{1} \dots a_{n}$ .
La adjunta de una matriz diagonal es también una matriz diagonal.
La matriz identidad $I_{n}$ y la matriz cero son matrices diagonales.
Los autovalores de $diag (a_{1}, \dots, a_{n})$ son $a_{1}, \dots, a_{n}$ .
Los vectores $𝐞_{1}, \dots, 𝐞_{n}$ forman una base de autovectores.

Usos

Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.

De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.