Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.

Definición de subespacio vectorial

Sea $V_{}^{}$ un espacio vectorial sobre $K_{}^{}$ y $U\subset V$ no vacío, $U_{}^{}$ es un subespacio vectorial de $V_{}^{}$ si:

$i)\mathrm{\forall }u,v\in U,u+v\in U$

$ii)\mathrm{\forall }u\in U,\mathrm{\forall }k\in K,ku\in U$

Consecuencias

• Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.

Demostración

i) permite el cumplimiento de la propiedad conmutativa y asociativa. ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva respecto las dos operaciones. Luego para el elemento neutro de la suma este se puede obtener como $0\cdot u$, que $u+0\cdot u=(1+0)\cdot u=u$ y lo mismo para el elemento opuesto de la suma obtenido como $(-1)\cdot u$, ya que $u+(-1)u=(1-1)\cdot u=0.$

Notaciones

Dado $F$ un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el abuso de lenguaje $F+F\subset F$, e incluso $F+F=F$ es correcto.

Demostración

Se quiere ver que $\mathrm{\forall }w\in F+F\iff w\in F$: $\Rightarrow )w\in F+F\Rightarrow \mathrm{\exists }u,v\in F:w=u+v\Rightarrow w\in F.$ $\Leftarrow )w\in F\Rightarrow w=w+\overrightarrow{0}\Rightarrow w\in F+F$

Para ii) el abuso de lenguaje $\lambda F\subset F$, e incluso $\lambda F=F,\mathrm{\forall }\lambda \in K-\{0\}$ es correcto.

Demostración

$w\in F\iff \frac{1}{\lambda }w\in F\iff \lambda \frac{1}{\lambda }w\in \lambda F\iff w\in \lambda F$

Criterio de verificación

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al cuerpo asociado, el vector $rv+sw$ es también un elemento de U.

Ejemplos

Dado el espacio vectorial ${ℝ}^2$, sus elementos son del tipo $(a,b)\in {ℝ}^2$.

• $\overrightarrow{0},u$ y $\lambda u$ están alineados, $\mathrm{\forall }u\in {ℝ}^2$, $\mathrm{\forall }\lambda \in K.$
  $\overrightarrow{0},u$ y $\lambda u$ están alineados, $\mathrm{\forall }u\in {ℝ}^2$, $\mathrm{\forall }\lambda \in K.$
• $\overrightarrow{0},u,v$ y $u+v$ forman un paralelogramo si no están alineados, $\mathrm{\forall }u,v\in {ℝ}^2.$
  $\overrightarrow{0},u,v$ y $u+v$ forman un paralelogramo si no están alineados, $\mathrm{\forall }u,v\in {ℝ}^2.$
• Suma de 3 elementos.
  Suma de 3 elementos.

El subconjunto

$U=\{(a,b):a+b=0\}$.

es un subespacio vectorial.

Demostración

Por definición de U los elementos son de la forma $x=(x_1,-x_1)$. $\begin{array}{cccccc}Suma& +:& {ℝ}^2\times {ℝ}^2& ⟶& {ℝ}^2& \\ & & (𝐮,𝐯)& \mapsto & (u_1,-u_1)+(v_1,-v_1)& =((u_1+v_1),-(u_1+v_1))\end{array}$ $\begin{array}{cccccc}Producto& \cdot :& K\times V& ⟶& V& \\ & & (a,𝐮)& \mapsto & a\cdot (u_1,-u_1)& =((a\cdot u_1),-(a\cdot u_1))\end{array}$ como las operaciones están bien definidas entonces U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial de ${ℝ}^2$.

El subconjunto

$C=\{(a,b):b=a^2\}$

no es un subespacio vectorial.

Demostración

Nuevamente sólo es necesario verificar tres condiciones: la pertenencia del vector nulo y la cerradura de ambas operaciones. El vector nulo (0, 0) sí es un elemento de C puesto que 0 = 0². Sin embargo, ni la suma ni el producto son cerrados: Los vectores (1, 1) y (2, 4) son elementos de C, pero su suma (1, 1) + (2, 4) = (3,5) no lo es, puesto que 5 no es igual a 3². El vector (2, 4) es un elemento de C, pero al multiplicarlo por el escalar 2 se obtiene (4, 8) que no es un elemento de C puesto que 8 no es igual a 4².

Otros ejemplos

Sea $V_{}^{}$ un espacio vectorial. Asumimos que $V_{}^{}$ es un espacio vectorial real, pero todo funciona también para un espacio vectorial complejo.

1) {0} es un subespacio vectorial de $V_{}^{}$. Es llamado el subespacio trivial de $V_{}^{}$.

2) $V_{}^{}$ en sí es un subespacio vectorial de $V_{}^{}$.

3) Si fijamos $v$ $\in V$. Entonces el conjunto $W:=\{𝝁𝐯\in V:\mu \in ℝ\}$ es un subespacio de $V_{}^{}$.

4) Más generalmente, si fijamos $v_1$, ..., $v_k$ $\in V$, entonces el conjunto $W:=\{{𝝁}_{\mathrm{𝟏}}{𝐯}_{\mathrm{𝟏}}+\mathrm{...}+{𝝁}_{𝐤}{𝐯}_{𝐤}:{\mu }_1,\mathrm{...},{\mu }_k\in ℝ\}$ es un subespacio de $V_{}^{}$. Este conjunto es llamado el generador lineal de $v_1$, ..., $v_k$.

5) Si fijamos $z_0$ y $v_1$, ..., $v_k$ $\in V$, entonces el conjunto $W:=\{z_0+{𝝁}_{\mathrm{𝟏}}{𝐯}_{\mathrm{𝟏}}+\mathrm{...}+{𝝁}_{𝐤}{𝐯}_{𝐤}:{\mu }_1,\mathrm{...},{\mu }_k\in ℝ\}$ $=$ $z_0$ $+$$\{{𝝁}_{\mathrm{𝟏}}{𝐯}_{\mathrm{𝟏}}+\mathrm{...}+{𝝁}_{𝐤}{𝐯}_{𝐤}:{\mu }_1,\mathrm{...},{\mu }_k\in ℝ\}$ es un subespacio afín de $V_{}^{}$. En general, no será un subespacio.

6) Si $W_{}^{}$ es un subespacio de $V_{}^{}$, entonces $V_{}^{}\setminus W_{}^{}$ no es un subespacio. Esto es fácil de ver, considerando que $W_{}^{}$ debe que contener el 0, pero $V_{}^{}\setminus W_{}^{}$ no contiene el 0. Por lo tanto, no puede ser un espacio vectorial.

Operaciones con subespacios

Sea $(V,+,K,\ast )$ un espacio vectorial; $(S,+,K,\ast )$ y $(W,+,K,\ast )$ subespacios vectoriales de $V$, se definen las siguientes operaciones:

Unión

$S\cup W=\{𝐯\in V:𝐯\in S\text{o}𝐯\in W\}$
En general, la unión de subespacios no es un subespacio.

Intersección

$S\cap W=\{𝐯\in V:𝐯\in S\text{y}𝐯\in W\}$
La intersección de dos subespacios es un subespacio.

Suma

$S+W=\{𝐯\in V:𝐯=({𝐮}_{\mathrm{𝟏}}+{𝐮}_{\mathrm{𝟐}})\wedge {𝐮}_{\mathrm{𝟏}}\in S\wedge {𝐮}_{\mathrm{𝟐}}\in W\}$
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".
Es decir que si $S\cap W=\left\{\overrightarrow{0}\right\}\Rightarrow S\oplus W$
Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

Subespacios suplementarios

Se dice que los subespacios $S$ y $W$son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial $V$:

$S\oplus W=V\leftrightarrow \{\begin{array}{c}S+W=V\\ S\cap W=\left\{\overrightarrow{0}\right\}\end{array}$

Dimensiones de subespacios

La fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios $S$ y $W$ será igual a la dimensión del subespacio $S$ más la dimensión del subespacio $W$ menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir:

$\dim (S+W)=\dim (S)+\dim (W)-\dim (S\cap W)$

Por ejemplo, siendo $\dim (S)=3$ y $\dim (W)=2$ y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, $\dim (S+W)=4$.

En la suma directa

En el caso particular de la suma directa, como $S\cap W=\left\{\overrightarrow{0}\right\}\Rightarrow \dim (S\cap W)=0$.
La fórmula de Grassmann resulta:

$\dim (S\oplus W)=\dim (S)+\dim (W)$

Entonces en el ejemplo anterior, resultaría $\dim (S\oplus W)=5$.

Véase también

• Ver el portal sobre Matemática Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Base (álgebra)
• Combinación lineal
• Dependencia e independencia lineal
• Espacio vectorial
• Producto escalar
• Producto vectorial
• Producto mixto
• Sistema generador