Complemento ortogonal

En los campo matemáticos del álgebra lineal y del análisis funcional, el complemento ortogonal de un subespacio vectorial $F$ de un espacio vectorial $E$ sobre $ℝ$ dotado de un producto escalar $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ es el conjunto $F^{⊥}$ de todos los vectores de $E$ que son ortogonales a todo vector de $F$ . Es decir,

$F^{⊥} = {u \in E : ⟨ u, v ⟩ = 0 \forall v \in F}$

Propiedades

$(1) F^{⊥} es un subespacio vectorial de E$
Para ver que es un subespacio vectorial hay que ver que es no vacío, cerrado para la suma y para el producto por escalar. Fijamos un subespacio vectorial $F \subseteq E$ arbitrario. Vamos a ver que $F^{⊥}$ es un subespacio vectorial. Es no vacío, pues por definición de producto escalar, $⟨ 0, u ⟩ = 0 \forall u \in E \Rightarrow 0 \in {u \in E : ⟨ u, v ⟩ = 0 \forall v \in F} \Rightarrow 0 \in F^{⊥} .$ Veamos que es cerrado para la suma. Sean $u, v \in F^{⊥}$ . Queremos ver que $u + v \in T^{⊥}$ o lo que es lo mismo, que $⟨ u + v, w ⟩ = 0 \forall w \in F$ . Pero por bilinealidad del producto escalar, $⟨ u + v, w ⟩ = ⟨ u, w ⟩ + ⟨ v, w ⟩ = 0 + 0 = 0 \forall w \in F,$ pues $u y v$ son de $F$ . Por tanto, $u + v \in F^{⊥}$ Queda ver que es cerrado para el producto por escalar. Sean $u \in F^{⊥}$ y $λ \in 𝕂$ . Como antes, vamos a ver que $⟨ λ u, w ⟩ = 0 \forall w \in F$ . Pero por bilinealidad del producto escalar, $⟨ λ u, w ⟩ = λ ⟨ u, w ⟩ = λ \cdot 0 = 0 \forall w \in F,$ pues $u \in F^{⊥}$ . Por tanto, $F^{⊥}$ también es cerrado para el producto por escalar y es, pues, un subespacio vectorial. $◻$

(2) Teorema de proyección: Si $E$ tiene dimensión finita, descompone en suma directa como $F \oplus F^{⊥} .$
Sea ${u_{1}, ..., u_{r}}$ una base de $F$ . Es decir, $F = [u_{1}, ..., u_{r}]$ ( $F$ es el subespacio generado por $u_{1}, ..., u_{r}$ ). Por el teorema de intercambio de Steinitz, podemos completarla para formar una base de $E$ : ${u_{1}, ..., u_{r}, u_{r + 1}, ..., u_{n}}$ (suponiendo que la dimensión de $E$ es $n$ . Ahora podemos aplicar el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt a esta base para obtener una ortonormal: ${w_{1}, ..., w_{r}, w_{r + 1}, ..., w_{n}}$ . Por construcción, $[w_{1}, ..., w_{r}] = [u_{1}, ..., u_{r}] = F$ . Por tanto, como los vectores de esta base son ortogonales dos a dos por ser una base ortonormal, tenemos que $w_{r + 1}, ..., w_{n} \in F^{⊥}$ y, como $F^{⊥}$ es subespacio vectorial, $[w_{r + 1}, ..., w_{n}] \subseteq F^{⊥} \Rightarrow dim F \geq n - r ()$ Veamos que $F \oplus F^{⊥}$ . Es equivalente ver que $F \cap F^{⊥} = {0_{E}} .$ Sea, pues, $u \in F \cap F^{⊥}$ . Por tanto, $u \in F$ y $u \in F^{⊥} \Rightarrow ⟨ u, u ⟩ = 0 \Rightarrow u = 0_{E}$ . Por tanto, tenemos que $F \oplus F^{⊥}$ , pero nos queda ver que $F \oplus F^{⊥} = E$ . Pero por $()$ , $dim (F + F^{⊥}) = dim (F \oplus F^{⊥}) = dim F + dim F^{⊥} \geq r + (n - r) = n$ Y, por otro lado, $F + F^{⊥} \subseteq E$ y $dim E = n \Rightarrow dim (F + F^{⊥}) \leq n$ . Por tanto, de las dos desigualdades obtenemos que $dim (F + F^{⊥}) = n$ y, como $dim E = n \Rightarrow F + F^{⊥} = E .$ Por tanto, $F \oplus F^{⊥} = E ◻$

Proyección ortogonal

De esta última propiedad obtenemos que $\forall u \in E u = u_{1} + u_{2}$ , con $u_{1} \in F, u_{2} \in F^{⊥}$ de forma única, por lo que podemos definir proyección ortogonal de $u$ sobre $F$ como $u_{1}$ y escribiremos que $π_{F} (u) = u_{1}$ . Simétricamente, podemos definir la proyección ortogonal de $u$ sobre $F^{⊥}$ como $u_{2}$ y escribiremos $π_{F^{⊥}} (u) = u_{2}$ .

Si definimos la aplicación $π_{F} : E \to F, u \mapsto π_{F} (u)$ tenemos que:

$π_{F}$ es aplicación lineal con $Ker (π_{F}) = F^{⊥}$ y $Im (π_{F}) = F$
Veamos que es una aplicación lineal. Sean $u, v \in E$ y $λ \in ℝ$ . Queremos ver que $π_{F} (u + λ v) = π_{F} (u) + λ π_{F} (v)$ . Observamos que, por el teorema de proyección, $u = π_{F} (u) + π_{F^{⊥}} (u)$ y $v = π_{F} (v) + π_{F^{⊥}} (v)$ . Por lo que $u + λ v = π_{F} (u) + π_{F^{⊥}} (u) + λ (π_{F} (v) + π_{F^{⊥}} (v)) = (π_{F} (u) + λ π_{F} (v)) + (π_{F^{⊥}} (u) + λ π_{F^{⊥}} (v))$ , con el primer paréntesis en $F$ y el segundo en $F^{⊥}$ . Por el teorema de proyección, esta descomposición es única y, por definición de $π_{F}$ , tenemos que $π_{F} (u + λ v) = π_{F} (u) + λ π_{F} (v)$ , como queríamos ver. Veamos ahora las expresiones del núcleo y la imagen de $π_{F}$ . $Im (π_{F}) = F$ : $(\subseteq)$ Directa por definición de $π_{F}$ $(\supseteq)$ Sea $w \in F$ arbitrario. Podemos escribir $w = w + 0_{E}$ , con $w \in F$ por hipótesis y $0_{E} \in F^{⊥}$ porque $F^{⊥}$ es subespacio vectorial. Así, por el teorema de proyección, $π_{F} (w) = w \Rightarrow w \in Im (π_{F})$ . Como esto es cierto para cualquier $w \in F$ , tenemos la inclusión que buscábamos. $Ker (π_{F}) = F^{⊥}$ : $(\supseteq)$ Sea $w \in F^{⊥}$ . Podemos escribir, como antes, $w = w + 0_{E}$ , pero ahora con $w \in F^{⊥}$ por hipótesis y $0_{E} \in F$ por ser $F$ un subespacio vectorial. Por tanto, por el teorema de proyección, $π_{F} (w) = 0_{E} \Rightarrow w \in Ker (π_{F})$ . $(\subseteq)$ Sea $w \in Ker (π_{F}) \Rightarrow w = π_{F} (w) + π_{F^{⊥}} (w) = 0_{E} + π_{F^{⊥}} (w) = π_{F^{⊥}} (w) \in F^{⊥}$ . Como esto vale para cualquier $w \in Ker (π_{F})$ , tenemos la inclusión que nos faltaba. $◻$

Bibliografía

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