Base de Schauder

En matemáticas, una base de Schauder o base numerable es similar a la base usual de un espacio vectorial (también denominada base de Hamel). La diferencia radica en que las bases de Hamel utilizan combinaciones lineales que son sumas finitas, mientras que para las bases de Schauder pueden ser sumas infinitas. Esto hace que las bases de Schauder sean más adecuadas para el análisis de espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita, incluyendo los espacios de Banach.

Las bases de Schauder fueron descritas por Juliusz Schauder en 1927, aunque ya se habían discutido con anterioridad. Por ejemplo, el concepto de ondícula de Haar se presentó en 1909, y Georg Faber discutió en 1910 una base para funciones continuas sobre un intervalo, a veces denominada sistema de Faber-Schauder.

Definiciones

Sea V un espacio vectorial topológico sobre field F. Una base de Schauder es una sucesión b_n de elementos V tal que para cada elemento v ∈ V existe una única secuencia a_n de escalares en F tal que $$v=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n{b}_n\text{.}$$ La convergencia de la suma infinita es implícitamente la de la topología ambiente, es decir, $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n{\alpha }_k{b}_k=v\text{,}$$, pero puede reducirse a solo una convergencia débil en un espacio vectorial normado (como un espacio de Banach). A diferencia de una base usual, los elementos de la base deben estar ordenados, ya que la serie podría no converger incondicionalmente.

Cabe destacar que algunos autores definen las bases de Schauder como numerables (como se indicó anteriormente), mientras que otros utilizan el término para incluir bases no numerables. En cualquier caso, las sumas en sí mismas siempre son numerables. Una base de Schauder no numerable es un orden total en lugar de una sucesión, y cada suma hereda el orden de sus términos de este ordenamiento lineal. Pueden surgir, y de hecho surgen, en la práctica. Por ejemplo, un espacio de Hilbert separable solo puede tener una base de Schauder numerable, pero un espacio de Hilbert no separable puede tener una no numerable.

Aunque la definición anterior técnicamente no requiere un espacio normado, una norma es necesaria para afirmar prácticamente cualquier cosa útil sobre las bases de Schauder. Los resultados que se presentan a continuación presuponen la existencia de una norma.

Se dice que una base de Schauder {b_n}_{n ≥ 0} está normalizada cuando todos sus vectores base tienen norma 1 en el espacio de Banach V.

Una sucesión {x_n}_{n ≥ 0} en V es una sucesión de base si constituye una base de Schauder de su ámbito lineal cerrado.

Dos bases de Schauder, b_n en V y c_n en W, se consideran equivalentes si existen dos constantes c > 0 y C tales que para todo número natural N ≥ 0 y toda sucesión a_n de escalares,

$c{\Vert \sum _{k=0}^N{\alpha }_k{b}_k\Vert }_V\le {\Vert \sum _{k=0}^N{\alpha }_k{c}_k\Vert }_W\le C{\Vert \sum _{k=0}^N{\alpha }_k{b}_k\Vert }_V.$

Una familia de vectores en V es total si su sistema generador (el conjunto de combinaciones lineales finitas) es denso en V. Si V es un espacio de Hilbert, una base ortogonal es un subconjunto B total de V tal que los elementos de B son distintos de cero y ortogonales entre sí. Además, cuando cada elemento en B tiene norma 1, entonces B es una base ortonormal de V.

Propiedades

Sea { b_n } una base de Schauder de un espacio de Banach V sobre F = R o C. Una consecuencia sutil del teorema de la función abierta es que las aplicaciones lineales { P_n } definidas por

$v=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_k{b}_k\stackrel{P_n}{⟶}{P}_n(v)=\sum _{k=0}^n{\alpha }_k{b}_k$

están uniformemente acotadas por una constante C. Cuando C = 1, la base se denomina monótona. Las aplicaciones { P_n } son proyecciones de las bases.

Sea { b*_n} el funcional de coordenadas, donde b*_n asigna a cada vector v en V la coordenada α_n de v en la expansión anterior. Cada b*_n es un funcional lineal acotado en V. En efecto, para cada vector v en V,

$|b_n^{\ast }(v)|\Vert b_n{\Vert }_V=|{\alpha }_n|\Vert b_n{\Vert }_V=\Vert {\alpha }_n{b}_n{\Vert }_V=\Vert P_n(v)-P_{n-1}(v){\Vert }_V\le 2C\Vert v{\Vert }_V.$

Estos funcionales b*_n se denominan funcionales biortogonales asociados a la base b_n. Cuando la base b_n se normaliza, los funcionales de coordenadas b*_n tienen norma = 2C en el espacio dual continuo V′ de V.

Dado que todo vector v en un espacio de Banach V con una base de Schauder es el límite de P_n(v), con P_n de rango finito y uniformemente acotado, dicho espacio V satisface la propiedad de aproximación acotada.

Un espacio de Banach con una base de Schauder es necesariamente separable, pero lo contrario es falso. El problema de la base es la pregunta planteada por Banach sobre si todo espacio de Banach separable posee una base de Schauder. Esta pregunta fue respondida negativamente por Per Enflo, quien construyó un espacio de Banach separable (reflexivo) que no cumple la propiedad de aproximación, es decir, un espacio sin base de Schauder. La construcción se ha simplificado y generalizado con el paso de los años. Véase Fabian et al. (2011, Sec. 16.5) para una presentación moderna.

Un teorema atribuido a Mazur afirma que todo espacio de Banach V de dimensión infinita contiene una sucesión básica, es decir, existe un subespacio de dimensión infinita de V que posee una base de Schauder.

Ejemplos

Las bases vectoriales unitarias estándar de c₀ y de ℓ ^p para 1 ≤ p < ∞ son bases de Schauder monótonas. En esta base vectorial unitaria b_n, el vector b_n en V = c₀ o en V = ℓ ^p es la secuencia escalar [b_{n, j}]_j, donde todas las coordenadas b_{n, j} son 0, excepto la coordenada n: $b_n=\{b_{n,j}{\}}_{j=0}^{\mathrm{\infty }}\in V,b_{n,j}={\delta }_{n,j},$, donde d_{n, j} es la función delta de Kronecker. El espacio ℓ ^∞ no es separable y, por lo tanto, no tiene base de Schauder.

Cada base ortonormal en un espacio de Hilbert separable es una base de Schauder. Toda base ortonormal numerable es equivalente a la base vectorial unitaria estándar en ℓ ².

Cada base de Auerbach en un espacio de Banach separable es una base de Schauder.

El sistema de Haar es un ejemplo de base para L^p([0, 1]), cuando 1 ≤ p < ∞. Cuando 1 < p < ∞, otro ejemplo es el sistema trigonométrico definido a continuación. El espacio de Banach C([0, 1]) de funciones continuas en el intervalo [0, 1], con norma del supremo, admite una base de Schauder. El sistema de Faber–Schauder es la base de Schauder monótona más utilizada para C([0, 1]).

Varias bases para espacios clásicos fueron descubiertas antes de la publicación del libro de Banach (Banach (1932)), pero otros casos permanecieron sin resolver durante mucho tiempo. Por ejemplo, la cuestión de si el sistema del álgebra de disco A(D) tiene una base de Schauder permaneció abierta durante más de cuarenta años, hasta que Bockarev demostró en 1974 que existe una base construida a partir del sistema de Franklin en A(D). También se puede demostrar que el sistema de Franklin periódico es una base para un espacio de Banach A_r isomorfo a A(D).

Este espacio A_r consta de todas las funciones continuas complejas en el círculo unitario T cuya función conjugada también es continua. El sistema de Franklin es otra base de Schauder para C([0, 1]), y es una base de Schauder en L^p([0, 1]) cuando 1 ≤ p < ∞. Los sistemas derivados del sistema de Franklin dan bases en el espacio C¹([0, 1]²) de funciones diferenciables en el cuadrado unidad. La existencia de una base de Schauder en C¹([0, 1]²) fue una pregunta del libro de Banach.

Relación con las series de Fourier

Sea x_n, en el caso real, la sucesión de funciones:

$\{1,\cos (x),\sin (x),\cos (2x),\sin (2x),\cos (3x),\sin (3x),\dots \}$

o, en el caso complejo,

$\{1,e^{ix},e^{-ix},e^{2ix},e^{-2ix},e^{3ix},e^{-3ix},\dots \}.$

La sucesión x_n se denomina sistema trigonométrico. Es una base de Schauder para el espacio L^p([0, 2π]) para cualquier p tal que 1 < p < ∞. Para p=2, este es el contenido del teorema de Riesz-Fischer, y para p≠2, es consecuencia de la acotación en el espacio L^p([0,2π]) de la transformada de Hilbert en el círculo. De esta acotación se deduce que las proyecciones P_N definidas por

$\{f:x\to \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_k{e}^{ikx}\}\stackrel{P_N}{⟶}\{P_{N}f:x\to \sum _{k=-N}^N{c}_k{e}^{ikx}\}$

están uniformemente acotadas en L^p([0,2π]) cuando 1 < p < ∞. Esta familia de aplicaciones P_N es equicontinua y tiende a la identidad en el subconjunto denso formado por los polinomios trigonométricos. De ello se deduce que P_Nf tiende a f en la norma L^p para todo f ∈ Lp([0, 2π]). En otras palabras, xn es una base de Schauder de L^p([0, 2π]).

Sin embargo, el conjunto x_n no es una base de Schauder para L¹([0, 2π]). Esto significa que existen funciones en L¹ cuyas series de Fourier no convergen en la norma L¹, o equivalentemente, que las proyecciones PN no están uniformemente acotadas en la norma L¹. Además, el conjunto x_n no es una base de Schauder para C([0, 2π]).

Bases para espacios de operadores

El espacio K(ℓ ²) de operadores compactos en el espacio de Hilbert ℓ ² tiene una base de Schauder. Para cada x, y en ℓ ², sea x ⊗ y el operador de rango 1 de v ∈ ℓ ² → <v, x > y. Si {e_n}_{n ≥ 1} es la base ortonormal estándar de ℓ ², una base para K(ℓ ²) viene dada por la sucesión

$\begin{array}{cc}& e_1\otimes e_1,e_1\otimes e_2,e_2\otimes e_2,e_2\otimes e_1,\dots ,\\ & e_1\otimes e_n,e_2\otimes e_n,\dots ,e_n\otimes e_n,e_n\otimes e_{n-1},\dots ,e_n\otimes e_1,\dots \end{array}$

Para cada n, la sucesión formada por los n² primeros vectores de esta base es un ordenamiento adecuado de la familia e_j ≤ e_k, para 1 ≤ j, k ≤ n.

El resultado anterior puede generalizarse: un espacio de Banach X con una base tiene la propiedad de aproximación, por lo que el espacio K(X) de operadores compactos en X es isométricamente isomorfo al producto tensorial inyectivo

$X^{\prime }{\hat{\otimes }}_{\epsilon }X\simeq 𝒦(X).$

Si X es un espacio de Banach con una base de Schauder {e_n}_{n ≥ 1} tal que los funcionales biortogonales son una base del espacio dual, es decir, un espacio de Banach con una base decreciente, entonces el espacio K(X) admite una base formada por los operadores de rango uno e*_j ⊗ e_k : v → e*_j(v) e_k, con el mismo ordenamiento que antes. Esto se aplica en particular a todo espacio de Banach reflexivo X con una base de Schauder.

Por otro lado, el espacio B(ℓ ²) no tiene base, ya que no es separable. Además, B(ℓ ²) no tiene la propiedad de aproximación.

Incondicionalidad

Una base de Schauder b_n es incondicional si, siempre que la serie $\sum {\alpha }_n{b}_n$ converge, converge incondicionalmente. Para una base de Schauder b_n, esto equivale a la existencia de una constante C tal que

$\Vert \sum _{k=0}^n{\epsilon }_k{\alpha }_k{b}_k{\Vert }_V\le C\Vert \sum _{k=0}^n{\alpha }_k{b}_k{\Vert }_V$

para todos los números naturales n, todos los coeficientes escalares {α_k} y todos los signos ε_k = ±1.

La incondicionalidad es una propiedad importante, ya que permite prescindir del orden de la suma. Una base de Schauder es simétrica si es incondicional y uniformemente equivalente a todas sus permutaciones: existe una constante C tal que para todo número natural n, toda permutación π del conjunto {0, 1, ..., n} , todos los coeficientes escalares {α_k} y todos los signos {ε_k},

$\Vert \sum _{k=0}^n{\epsilon }_k{\alpha }_k{b}_{\pi (k)}{\Vert }_V\le C\Vert \sum _{k=0}^n{\alpha }_k{b}_k{\Vert }_V.$

Las bases estándar de los espacios secuenciales, c₀ y ℓ ^p, para 1 ≤ p < ∞, así como toda base ortonormal en un espacio de Hilbert, son incondicionales. Estas bases también son simétricas.

El sistema trigonométrico no es una base incondicional en L^p, excepto para p = 2.

El sistema de Haar es una base incondicional en L^p para cualquier 1 ≤ p < ∞. El espacio L¹([0, 1]) no tiene base incondicional.

Una pregunta natural es si todo espacio de Banach de dimensión infinita tiene un subespacio de dimensión infinita con una base incondicional. Esta cuestión fue resuelta negativamente por William Timothy Gowers y Bernard Maurey en 1992.

Bases de Schauder y dualidad

Una base { e_n }_n≥0 de un espacio de Banach X es acotadamente completa si para toda sucesión { a_n }_n≥0 de escalares tales que las sumas parciales

$V_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{e}_k$

están acotadas en X, la sucesión V_n converge en X. La base vectorial unitaria para ℓ^p, 1 ≤ p < ∞, es acotadamente completa. Sin embargo, la base de vectores unitarios no es acotadamente completa en c₀. En efecto, si a_n = 1 para todo n, entonces

$\Vert V_n{\Vert }_{c_0}=\underset{0\le k\le n}{max}|a_k|=1$

para todo n, pero la sucesión V_n no converge en c₀, puesto que ||V_n+1 - V_n|| = 1 para todo n.

Un espacio X con una base acotadamente completa { e_n }_n≥0 es isomorfa a un espacio dual, es decir, el espacio X es isomorfo al dual del espacio lineal cerrado generado en el dual X′ de los funcionales biortogonales asociados a la base { e_n }.

Una base { e_n }_n≥0 de X es contraíble si para todo funcional lineal acotado f en X, la sucesión de números no negativos

${\phi }_n=sup\{|f(x)|:x\in F_n,\Vert x\Vert \le 1\}$

tiende a 0 cuando n → ∞, donde F_n es el espacio vectorial generado por los vectores de la base { e_m } para m ≥ n. La base de vectores unitarios para ℓ ^p, 1 ≤ p < ∞, o para c₀, es contraíble. No es contraíble en ℓ ¹: si f es el funcional lineal acotado en ℓ ¹ dado por

$f:x=\{x_n\}\in {\ell }^1\to \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n,$

entonces φ_n ≥ f(e_n) = 1 para todo n.

Una base [e_n]_{n ≥ 0} de X es contraíble si y solo si los funcionales biortogonales [e*_n]_{n ≥ 0} forman una base del dual X′.

Robert C. James caracteriza la reflexividad en espacios de Banach con base: el espacio X con una base de Schauder es reflexivo si y solo si la base es tanto contractiva como acotadamente completa. James también demostró que un espacio con una base incondicional no es reflexivo si y solo si contiene un subespacio isomorfo a c₀ o a ℓ ¹.

Conceptos relacionados

Una base de Hamal es un subconjunto B de un espacio vectorial V tal que cada elemento v ∈ V puede escribirse de forma única como:

$v=\sum _{b\in B}{\alpha }_{b}b$

con α_b ∈ F, con la condición adicional de que el conjunto:

$\{b\in B\mid {\alpha }_b\ne 0\}$

es finito. Esta propiedad dificulta el uso de la base de Hamel en espacios de Banach de dimensión infinita, ya que una base de Hamel para un espacio de Banach de dimensión infinita debe ser un conjunto no numerable. Todo subespacio de dimensión finita de un espacio de Banach de dimensión infinita X tiene interior vacío y no es denso en ningún punto de X. Por lo tanto, se deduce del teorema de la categoría de Baire que una unión numerable de bases de estos subespacios de dimensión finita no puede servir como base.

Véase también

• Series de Fourier generalizadas
• Polinomios ortogonales
• Ondícula de Haar
• Espacio de Banach

Bibliografía

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