Conjunto denso

En topología, se dice que un subconjunto $A$ de un espacio topológico $(X,𝒯)$ es denso en $X$ si cada punto de $X$ pertenece a $A$ o está "arbitrariamente cerca" de $A$.

Formalmente, un subconjunto $A$ es denso en $X$ si el menor conjunto cerrado de $X$ que contiene a $A$ es el mismo $X$.

Definición

Sea $(X,𝒯)$ un espacio topológico y $A\subseteq X$ un subconjunto. Se dice que $A$ es denso en $X$ si y solo si $\overline{A}=X$, es decir, la clausura topológica del subconjunto es todo el espacio.

Las siguientes proposiciones para $A$ son equivalentes:

1. $A$ es denso en $X$.
2. El menor conjunto cerrado de $X$ que contiene a $A$ es el mismo $X$.
3. El interior del complemento de $A$ es vacío, es decir, ${(X\setminus A)}^{\circ }=\mathrm{\varnothing }$.
4. $A$ interseca a todo abierto no vacío de $X$.
5. Todo punto $X$ pertenece a $A$ o es punto de acumulación de $A$.

Otras proposiciones

• Si dos aplicaciones continuas de X en Y, siendo Y un espacio de Hausdorff, coinciden en un conjunto denso; entonces coinciden en todo el espacio X.

• D₁ y D₂ son subconjuntos densos en X, no necesariamente lo es su intersección:

$D_1=\mathbb{Q}y{D}_2=ℝ-\mathbb{Q}$

• Sean D₁ , D₂ subconjuntos densos de X , además D₁ o D₂ es abierto, entonces D₁∩D₂ es denso

Ejemplos

• Todo espacio topológico es denso en sí mismo.
• $\mathbb{Q}$ e $𝕀$ son subconjuntos densos en $ℝ$ con la topología usual.
• Los polinomios son densos en el conjunto $C[a,b]$ de las funciones continuas definidas en $[a,b]$, dotado de la topología asociada a la distancia $d_{\mathrm{\infty }}(f,g)=\underset{x\in [a,b]}{max}|f(x)-g(x)|$.

Espacio separable

Si $(X,𝒯)$ contiene a un denso numerable se dice que es un espacio topológico separable. Ejemplos de espacios separables son ${ℝ}^n$ y $C([0,1],ℝ)$ (el espacio de las funciones continuas que van de $[0,1]$ a $ℝ$).

Véase también

• Conjunto denso en ninguna parte
• Espacio separable