Subgrupo normal

En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido $N$ de un grupo $G$ es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento $n \in N$ y cada $g \in G$ , el elemento $g n g^{- 1}$ está en $N$ . Se denota $N ◃ G$ .

Definición

Un subgrupo $N$ de un grupo $G$ se llama subgrupo normal del grupo $G$ si las clases laterales por la izquierda y por la derecha definidas por cualquier $g \in G$ coinciden, es decir, $g N = N g \forall g \in G$ .

Definiciones equivalentes

Sea $G$ un grupo y $N < G$ un subgrupo. Equivalen:

$N ◃ G$ .

$g n g^{- 1} \in N \forall n \in N, \forall g \in G$ .

$g N g^{- 1} \subset N \forall g \in G$ .

$g N g^{- 1} = N \forall g \in G$ .

Demostración
1. $⟹$ 2. Como $g N = N g$ , entonces $g n \in N g$ . Por tanto, $\exists n^{'} \in N : g n = n^{'} g ⟹ g n g^{- 1} = n^{'} \in N$ . 2. $⟺$ 3. Es claro. 3. $⟹$ 4. Sea $g \in G$ . Entonces, $g^{- 1} N (g^{- 1})^{- 1} = g^{- 1} N g \subset N$ . Por tanto, $N = g (g^{- 1} N g) g^{- 1} \subset g N g^{- 1}$ y se tiene la igualdad. 4. $⟹$ 1. Sea $n \in N$ y $g \in G$ . $g n g^{- 1} \in g N g^{- 1} = N ⟹ \exists n^{'} \in N : g n g^{- 1} = n^{'} \in N ⟹ g n = n^{'} g ⟹ g N \subset N g$ . Además, se tiene que $n g = g (g^{- 1} n (g^{- 1})^{- 1}) \in g N ⟹ N g \subset g N$ . Por tanto, $g N = N g ⟹ N ◃ G$ .

Propiedades

${e}$ y $G$ son siempre subgrupos normales de $G$ . Si éstos son los únicos subgrupos normales de $G$ , se dice que $G$ es simple.
Los subgrupos normales de cualquier grupo $G$ forman un retículo bajo inclusión. Los elementos mínimo y máximo son ${e}$ y $G$ , el ínfimo de dos subgrupos es su intersección y su supremo es su yuxtapuesto.
Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales.
Si $N < G$ es de índice 2 ( $[G : N] = 2$ ) entonces $N$ es normal en $G$ .
El centro de un grupo es normal en el grupo.

Grupo cociente

Sea $G$ un grupo y $N ◃ G$ . Como los conjuntos de clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden lo llamaremos simplemente conjunto de clases laterales de $N$ en $G$ , y lo denotaremos $G / N$ .

Podemos definir en $G / N$ la operación $g N * h N = (g h) N \forall g, h \in G$ (esta operación está bien definida, ya que su definición no depende de los representantes elegidos en las clases a multiplicar).

Llamamos grupo cociente de $G$ sobre $N$ al grupo $(G / N, *)$ , formado por el conjunto de clases laterales de $N$ en $G$ y operación definida como $g N * h N = (g h) N \forall g, h \in G$ .

La proyección canónica $p : G ⟶ G / N, p (g) = g N$ es un homomorfismo de grupos.

Grupos normales y homomorfismos

Sean $G$ y $H$ grupos y sea $f : G ⟶ H$ un homomorfismo de grupos. Entonces el núcleo de $f$ es normal en $G$ : $\ker (f) ◃ G$ . De hecho, un subgrupo $N < G$ es normal si y sólo si existe un homomorfismo de grupos $f : G ⟶ H$ tal que $\ker (f) = N$ .

Referencias

Véase también