Normalizador

En teoría de grupos, el normalizador de un subconjunto S de un grupo G es el mayor subgrupo de G para el cual la acción de conjugación deja invariante a S. Cuando el conjunto consta de un solo elemento, se habla entonces de un centralizador.

Definición

Si G es un grupo y S un subconjunto de G, el normalizador de S está definido por $N(S)=\{g\in G:gS{g}^{-1}=S\}$

En donde $gS{g}^{-1}$ es el conjunto definido como $\{gs{g}^{-1}:s\in S\}$.

En particular, si S es un subgrupo de G, entonces N(S) es el mayor subgrupo de G en el cual S es un subgrupo normal.

Propiedades

El resultado más importante es que el normalizador de un subconjunto siempre es un subgrupo.

Si G es un grupo y S un subconjunto de G, entonces el normalizador N(S) es un subgrupo de G.

Demostración

Para demostrar que es un subgrupo, basta demostrar que el producto $a{b}^{-1}$ donde $a,b$ son dos elementos cualesquiera de $N(S)$ también es elemento de $N(S)$, esto es, hayque demostrar que para todo $s\in S$ el elemento $(a{b}^{-1})s(a{b}^{-1}{)}^{-1}$ también pertenece a S. Primero demostramos que si $b\in N(S)$ entonces $b^{-1}\in N(S)$ ya que para cualquier $s\in S$ existe un $s_1\in S$ que satisfaga $bs{b}^{-1}=s_1$, pero entonces $s=(b^{-1})s_1(b)\in S$, es decir, $b^{-1}\in N(S)$ Procedemos ahora a la prueba principal. Desarrollando $(a{b}^{-1})s(a{b}^{-1}{)}^{-1}=a{b}^{-1}s(b^{-1}{)}^{-1}{a}^{-1}=a{b}^{-1}sb{a}^{-1}=a(b^{-1}sb)a^{-1}$ observamos que a está conjugando al elemento $b^{-1}sb$, el cual a su vez es la conjugación por $b^{-1}$ de s. Pero como $b\in N(S)$, entonces $b^{-1}\in N(S)$ y por tanto $b^{-1}sb\in S$. Denotemos por $s_2$ a $b^{-1}sb$ y entonces la expresión original se reescribe como $a{s}_2{a}^{-1}$ que, al estar a en $N(S)$, también pertenece a S. Concluimos entonces que $(a{b}^{-1})s(a{b}^{-1}{)}^{-1}\in S$ y por tanto $N(S)$ es un subgrupo.

Un caso de particular interés es cuando el subconjunto es al mismo tiempo un subgrupo.

Si H es un subgrupo de G, entonces H es un subgrupo normal de N(H). Además, N(H) es el mayor subgrupo con esta propiedad.

Demostración

Si H es un subgrupo de G, entonces el normalizador es precisamente el conjunto de todos los elementos g del grupo para los cuales $gN{g}^{-1}=N$, que es precisamente la condición que define a un subgrupo normal.

Como consecuencia del teorema anterior, un subgrupo H de G es normal en G si y sólo si N(H) = G.

Si H es un subgrupo de G entonces el número de clases conjugadas de H en G es igual al índice del normalizador en el grupo: $[G:N(H)]$ y por tanto divide al orden del grupo cuando éste es finito. Además, dos clases de conjugación coinciden, $aH{a}^{-1}=bH{b}^{-1}$, si y sólo si $a{b}^{-1}\in N(H)$

• Según Lang, se consideran estas dos más:
• Si K es un subgrupo del normalizador N(H), KH es un grupo y H es normal en KH.
• El normalizador de H es el mayor subgrupo de G en el que H es normal.

Ejemplos

• El normalizador de cualquier subgrupo normal es el grupo completo. En particular N(<e>) y N(G) son ambos iguales a G.
• El subgrupo H de $S_4$ generado por el ciclo $(1,2,3,4)$ no es normal, por tanto su normalizador no es el grupo completo de permutaciones. En este caso, el normalizador de H es el subgrupo generado por las permutaciones $(1,2,3,4),(2,4),(1,3)(2,4)$.

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra 1 (2 edición), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 ..
• Fraleigh, John (1987), Álgebra abstracta 1 (1 edición), Addison-Wesley iberoamericana, ISBN 0-201-64052-X ..

Bibliografía

• Baumslag, B.; Chandler, B.: Teoría de grupos (1972), Mc Graw-Hill de México, impreso en Colombia.
• Zaldívar, Felipe: Introducción a la teoría de grupos (2009), Sociedad Matemática Mexicana-Reverté ediciones.
• Lang, Serge: Álgebra (1973), Aguilar, Madrid, primera reimpresión.