Matriz normal

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y solo si

$A^{\ast }A=A{A}^{\ast }$

donde A^* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

Ejemplos

Esta matriz de orden 2 es normal.

$\left(\begin{array}{cc}-i& -i\\ -i& i\end{array}\right)$

debido a que ..

$\left(\begin{array}{cc}-i& -i\\ -i& i\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}-i& -i\\ -i& i\end{array}\right)}^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}-i& -i\\ -i& i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}i& i\\ i& -i\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}i& i\\ i& -i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-i& -i\\ -i& i\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}-i& -i\\ -i& i\end{array}\right)}^{\ast }\left(\begin{array}{cc}-i& -i\\ -i& i\end{array}\right)$

Propiedades

Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.

Demostración

Sea A matriz compleja cuadrada normal. Entonces puede expresarse, utilizando la descomposición de Schur, de esta manera:

$A=QU{Q}^{\ast }$

Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior. Formalmente, definimos estas condiciones con números, ya que serán usadas en la demostración:

• $a_{k1}=0$ $\mathrm{\forall }k=2,\mathrm{..},n$ (1)
• $a_{k2}=0$ $\mathrm{\forall }k=3,\mathrm{..},n$ (2)
• ...
• $a_{kn-1}=0$ $conk=n$ (n-1)

Usando el hecho que A es normal:

$A^{\ast }A=(QU{Q}^{\ast }{)}^{\ast }(QU{Q}^{\ast })=Q{U}^{\ast }(Q^{\ast }Q{)}_{(a)}U{Q}^{\ast }=Q{U}^{\ast }U{Q}^{\ast }$

Idénticamente.

$(QU{Q}^{\ast })(QU{Q}^{\ast }{)}^{\ast }=QU{U}^{\ast }{Q}^{\ast }$

Postmultiplicando por $Q$ y luego premultiplicando por $Q^{\ast }$ obtenemos: $U^{\ast }U=U{U}^{\ast }$

Lo cual da lugar a estas dos multiplicaciones matriciales:

$\begin{array}{ccc}& & \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& a_{nn}\end{array}\right]\\ U^{\ast }U=\left[\begin{array}{cccc}\overline{a_{11}}& 0& \cdots & 0\\ \overline{a_{12}}& \overline{a_{22}}& \cdots & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ \overline{a_{1n}}& \cdots & \overline{a_{n-1n}}& \overline{a_{nn}}\end{array}\right]& & \end{array}$

$\begin{array}{ccc}& & \left[\begin{array}{cccc}\overline{a_{11}}& 0& \cdots & 0\\ \overline{a_{12}}& \overline{a_{22}}& \cdots & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ \overline{a_{1n}}& \cdots & \overline{a_{n-1n}}& \overline{a_{nn}}\end{array}\right]\\ U{U}^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& a_{nn}\end{array}\right]& & \end{array}$

Para nuestros propósitos, nos interesan los elementos de las diagonales.

$(U^{\ast }U{)}_{ii}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\cdot \overline{a_{ji}}=\sum _{j=1}^n\Vert a_{ij}{\Vert }^2$

$(U{U}^{\ast }{)}_{ii}=\sum _{j=1}^n\overline{a_{ij}}\cdot a_{ji}=\sum _{j=1}^n\Vert a_{ji}{\Vert }^2$

Ahora utilizamos un procedimiento inductivo para probar que esta matriz producto es diagonal (sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal)

• Caso i=1: $(U^{\ast }U{)}_{11}=(U{U}^{\ast }{)}_{11}$

$\sum _{j=1}^n\Vert a_{1j}{\Vert }^2=\sum _{j=1}^n\Vert a_{j1}{\Vert }^2$

Separamos el elemento diagonal de las sumatorias.

$\Vert a_{11}{\Vert }^2+\sum _{j=2}^n\Vert a_{1j}{\Vert }^2=\Vert a_{11}{\Vert }^2+\sum _{j=2}^n\Vert a_{j1}{\Vert }^2$

Usando (1)

$\sum _{j=2}^n\Vert a_{1j}{\Vert }^2=0$

Por lo tanto, $a_{1j}=0$ $\mathrm{\forall }j=2,\mathrm{..},n$

Véase también

• Operador normal

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Normal Matrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.