Incentro

Un triángulo y su incentro I. Las líneas rojas son las bisectrices de los tres ángulos internos.

Incentro I

El Incentro de un triángulo (marcado con la letra I en el gráfico) es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de sus ángulos internos. Equidista de los tres lados, y por lo tanto, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, tangente a sus tres lados.

Junto con el centroide (o baricentro) , circuncentro y ortocentro, es uno de los cuatro puntos notables del triángulo conocidos por los antiguos griegos, y el único que no se sitúa sobre la recta de Euler.

Archivo:Incentro do Triângulo.PNG

En la Enciclopedia de los Centros del Triángulo^[1] (obra del matemático estadounidense Clark Kimberling) es designado X(1) como la primera entrada de la lista de centros. Es el elemento identidad del grupo multiplicativo de los centros del triángulo.^[2]^[3]

Para polígonos con más de tres lados, el incentro solo existe en polígonos tangenciales -es decir, aquellos que tienen una circunferencia inscrita que es tangente a todos los lados del polígono. En este caso, el incentro es el centro de esta circunferencia y es equidistante de todos los lados.

Coordenadas cartesianas

Se pueden deducir las coordenadas cartesianas del incentro a partir de las coordenadas de los tres vértices del triángulo A, B y C. Si los vértices tienen por coordenadas $(x_{a}, y_{a})$ , $(x_{b}, y_{b})$ , y $(x_{c}, y_{c})$ , y los respectivos lados opuestos tienen longitudes $a$ , $b$ , y $c$ , el incentro tendrá por coordenadas $(x_{I}, y_{I})$ :

(x_{I}, y_{I}) = \frac{a (x_{a}, y_{a}) + b (x_{b}, y_{b}) + c (x_{c}, y_{c})}{a + b + c} = (\frac{a x_{a} + b x_{b} + c x_{c}}{a + b + c}, \frac{a y_{a} + b y_{b} + c y_{c}}{a + b + c})

Demostración
Archivo:BisectriusCevianes 385x350.png Las bisectrices interiores de un triángulo como rectas cevianas. En efecto, Por el teorema de la bisectriz, aplicado a las bisectrices de los ángulos $\hat{A}$ y $\hat{B}$ , se tiene que $\frac{c}{b} = \frac{B P}{P C} = \frac{B P}{B C - B P} = \frac{B P}{a - B P},$ $\frac{c}{a} = \frac{A Q}{Q C} = \frac{A Q}{A C - A Q} = \frac{A Q}{b - A Q}$ resultando $B P = \frac{a c}{b + c}, A Q = \frac{b c}{a + c}$ Sean los vectores $\vec{B P}$ y $\vec{A Q}$ Entonces: $\vec{B P} = \frac{B P}{B C} \vec{B C} = \frac{B P}{a} \vec{B C} = \frac{c}{b + c} \vec{B C}, \vec{A Q} = \frac{A Q}{A C} \vec{A C} = \frac{A Q}{b} \vec{A C} = \frac{c}{a + c} \vec{A C}$ Para los vectores $\vec{A I}$ y $\vec{B I}$ existen los números reales $λ$ y $μ$ con $\vec{A I} = λ \vec{A P}$ y $\vec{B I} = μ \vec{B Q}$ . Entonces, expresando el vector $\vec{A I}$ de estas dos formas, $\vec{A I} = λ \vec{A P}$ y $\vec{A I} = \vec{A B} + \vec{B I}$ , se tiene que: ${\begin{matrix} \vec{A I} & = & λ \vec{A P} = λ (\vec{A B} + \vec{B P}) = λ (\vec{A B} + \frac{c}{b + c} \vec{B C}) = λ \vec{A B} + \frac{λ c}{b + c} \vec{B C} \\ \vec{A I} & = & \vec{A B} + \vec{B I} = \vec{A B} + μ \vec{B Q} = \vec{A B} + μ (\vec{B A} + \vec{A Q}) = \vec{A B} + μ (\vec{B A} + \frac{c}{a + c} \vec{A C}) = \\ = & \vec{A B} + μ (\vec{B A} + \frac{c}{a + c} (\vec{A B} + \vec{B C})) = (1 - μ + \frac{μ c}{a + c}) \vec{A B} + \frac{μ c}{a + c} \vec{B C} \end{matrix}$ Ahora, dada la independencia lineal de los vectores $\vec{A B}$ y $\vec{B C}$ entonces: ${\begin{matrix} λ & = & 1 - μ + \frac{μ c}{a + c} \\ \frac{λ c}{b + c} & = & \frac{μ c}{a + c} \end{matrix}$ El sistema anterior, que es un sistema lineal, tiene las soluciones $λ = \frac{b + c}{a + b + c} μ = \frac{a + c}{a + b + c}$ Finalmente, $\begin{matrix} \vec{I} & = & \vec{A} + \vec{A I} = \vec{A} + λ \vec{A B} + \frac{λ c}{b + c} \vec{B C} = \vec{A} + λ (\vec{B} - \vec{A}) + \frac{λ c}{b + c} (\vec{C} - \vec{B}) = \\ = & \vec{A} + \frac{b + c}{a + b + c} (\vec{B} - \vec{A}) + \frac{c}{a + b + c} (\vec{C} - \vec{B}) = \\ = & \frac{a}{a + b + c} \vec{A} + \frac{b}{a + b + c} \vec{B} + \frac{c}{a + b + c} \vec{C} \end{matrix}$

Coordenadas trilineales

Las coordenadas trilineales del incentro son

1 : 1 : 1

La colección de centros del triángulo presenta estructura de grupo cuando se expresan sus coordenadas en el sistema trilineal respecto a la operación producto. En este grupo, el incentro es el elemento identidad.^[3]

Coordenadas baricéntricas

Las coordenadas baricéntricas del incentro son

a : b : c

donde $a$ , $b$ , y $c$ son las longitudes de los lados del triángulo, o de forma equivalente (utilizando el teorema de los senos) se pueden definir como

sen (A) : sen (B) : sen (C)

donde $A$ , $B$ , y $C$ son los ángulos de los tres vértices del triángulo.


1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

Propiedades del incentro

Distancias a los vértices

Denominando al incentro del triángulo ABC como I, las distancias desde el incentro a los vértices, de acuerdo con las longitudes de los lados, obedecen a la ecuación^[4]

\frac{I A \cdot I A}{C A \cdot A B} + \frac{I B \cdot I B}{A B \cdot B C} + \frac{I C \cdot I C}{B C \cdot C A} = 1

Adicionalmente,^[5]

I A \cdot I B \cdot I C = 4 R r^{2}

donde R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita respectivamente.

Distancia al vértice A.

1. Conociendo el ángulo A y el radio r

d (I, A) = r \cdot c s c \frac{A}{2}

→ (1),^[6] r radio de la circunferencia inscrita.

2. Conociendo los tres lados.

d (I, A) = \sqrt{\frac{b c (p - a)}{p}}

donde a, b y c son las longitudes de los lados y

p = \frac{a + b + c}{2}

es el semiperímetro.

Para deducir esta fórmula cíclica, se iguala pr con la fórmula de Herón. Se despeja cos A de la fórmula que brinda la ley de los cosenos y se halla el sen de A/2, también el cosecante de A/2. Se reemplaza r y csc A/2 en la fórmula anterior (1).^[7]

Otros centros

La distancia entre el incentro y el centroide es menor que una tercera parte de la longitud de la mediana más larga del triángulo.^[8]

De acuerdo con el Teorema geométrico de Euler, la distancia entre el incentro I y el circuncentro O elevada al cuadrado, viene dada por^[9]^[10]

O I^{2} = R (R - 2 r),

donde R y r son el circunradio y el inradio respectivamente; en consecuencia, el circunradio es al menos dos veces el inradio (siendo exactamente el doble únicamente en el caso del triángulo equilátero^[11]^{: p. 198}).

La distancia desde el incentro al centro N de la circunferencia de los nueve puntos es^[10]

I N = \frac{1}{2} (R - 2 r) < \frac{1}{2} R

La distancia al cuadrado entre el incentro y el ortocentro H es^[12]

I H^{2} = 2 r^{2} - 4 R^{2} \cos A \cos B \cos C

Existen inecuaciones que afirman que:

I G < H G, I H < H G, I G < I O, 2 I N < I O

El incentro es el punto de Nagel del triángulo medial (el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados) y se halla situado en el interior de este triángulo. Recíprocamente, el punto de Nagel de cualquier triángulo es el incentro de su triángulo anticomplementario.^[13]

El incentro se localiza en el interior de un disco cuyo diámetro une el centroide G y el ortocentro H (el disco ortocentroidal), pero no puede coincidir con el centro de los nueve puntos, cuya posición es fija a 1/4 a lo largo del diámetro (más cercano a G). Ningún otro punto dentro del disco ortocentroidal es el incentro de alguno de los triángulos singulares.^[14]

Recta de Euler

La recta de Euler de un triángulo pasa a través de su circuncentro, su centroide, y su ortocentro, además de por otros puntos notables. El incentro generalmente no pertenece a la recta de Euler;^[15] salvo para los triángulos isósceles,^[16] en cuyo caso la recta de Euler coincide con el eje de simetría del triángulo y contiene todos sus centros.

Denominando a la distancia desde el incentro a la recta de Euler d; a la longitud de la mayor mediana v; a la longitud del mayor lado del triángulo u; al circunradio R; a la longitud del segmento de la recta de Euler desde el ortocentro hasta el circuncentro e; y al semiperímetro s; se tienen las inecuaciones siguientes:^[17]

\frac{d}{s} < \frac{d}{u} < \frac{d}{v} < \frac{1}{3}

d < \frac{1}{3} e

d < \frac{1}{2} R

Divisiones de área y de perímetro

Cualquier recta que divida un triángulo en dos partes de igual área e igual perímetro (ambas condiciones se dan simultáneamente), pasa por su incentro. Puede haber una, dos o tres de estas líneas para cualquier triángulo dado.^[18]

Distancia relativa de los puntos de una bisectriz

Sea X un punto de la bisectriz del ángulo A. Entonces, cuando X = I (el incentro) se maximiza o minimiza el cociente $\frac{B X}{C X}$ a lo largo de la bisectriz.^[19]^[20]

Véase también

Referencias

↑ Encyclopedia of Triangle Centers
↑ Kimberling, Clark (1994), «Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle», Mathematics Magazine 67 (3): 163-187, JSTOR 2690608, MR 1573021 ..
↑ ^3,0 ^3,1 Encyclopedia of Triangle Centers, consultada el 28 de octubre de 2014.
↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (marzo de 2012), «Proving a nineteenth century ellipse identity», Mathematical Gazette 96: 161-165 ..
↑ Altshiller-Court, Nathan (1980), College Geometry, Dover Publications .. #84, p. 121.
↑ Solimar Flores Espíritu: Puntos notables Lumbreras editores
↑ Flores: Obra citada
↑ Franzsen, William N. (2011), «The distance from the incenter to the Euler line», Forum Geometricorum 11: 231-236, MR 2877263 .. Lemma 3, p. 233.
↑ Johnson (1929), p. 186
↑ ^10,0 ^10,1 Franzsen (2011), p. 232.
↑ Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html
↑ Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers" Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
↑ Franzsen (2011), Lemma 1, p. 233.
↑ Franzsen (2011), p. 232.
↑ Schattschneider, Doris; King, James (1997), Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research, The Mathematical Association of America, pp. 3-4, ISBN 978-0883850992 .
↑ Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), «Orthocentric simplices and biregularity», Results in Mathematics 52 (1-2): 41-50, MR 2430410, doi:10.1007/s00025-008-0294-4, «It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles» ..
↑ Franzsen (2011), pp. 232–234.
↑ Kodokostas, Dimitrios (Abril de 2010), «Triangle equalizers», Mathematics Magazine 83: 141-146, doi:10.4169/002557010X482916 ..
↑ Arie Bialostocki and Dora Bialostocki, "The incenter and an excenter as solutions to an extremal problem", Forum Geometricorum 11 (2011), 9-12. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201102index.html
↑ Hajja, Mowaffaq, Extremal properties of the incentre and the excenters of a triangle", Mathematical Gazette 96, July 2012, 315-317.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Incenter». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Encyclopedia of Triangle Centers
Empresa de Transformación Digital - Incentro

[1] Encyclopedia of Triangle Centers

[k94-2] Kimberling, Clark (1994), «Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle», Mathematics Magazine 67 (3): 163-187, JSTOR 2690608, MR 1573021 ..

[etc-3] 3,0 ^3,1 Encyclopedia of Triangle Centers, consultada el 28 de octubre de 2014.

[4] Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (marzo de 2012), «Proving a nineteenth century ellipse identity», Mathematical Gazette 96: 161-165 ..

[ac-5] Altshiller-Court, Nathan (1980), College Geometry, Dover Publications .. #84, p. 121.

[6] Solimar Flores Espíritu: Puntos notables Lumbreras editores

[7] Flores: Obra citada

[8] Franzsen, William N. (2011), «The distance from the incenter to the Euler line», Forum Geometricorum 11: 231-236, MR 2877263 .. Lemma 3, p. 233.

[9] Johnson (1929), p. 186

[f232-10] 10,0 ^10,1 Franzsen (2011), p. 232.

[11] Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html

[12] Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers" Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html

[13] Franzsen (2011), Lemma 1, p. 233.

[14] Franzsen (2011), p. 232.

[15] Schattschneider, Doris; King, James (1997), Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research, The Mathematical Association of America, pp. 3-4, ISBN 978-0883850992 .

[16] Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), «Orthocentric simplices and biregularity», Results in Mathematics 52 (1-2): 41-50, MR 2430410, doi:10.1007/s00025-008-0294-4, «It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles» ..

[17] Franzsen (2011), pp. 232–234.

[18] Kodokostas, Dimitrios (Abril de 2010), «Triangle equalizers», Mathematics Magazine 83: 141-146, doi:10.4169/002557010X482916 ..

[19] Arie Bialostocki and Dora Bialostocki, "The incenter and an excenter as solutions to an extremal problem", Forum Geometricorum 11 (2011), 9-12. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201102index.html

[20] Hajja, Mowaffaq, Extremal properties of the incentre and the excenters of a triangle", Mathematical Gazette 96, July 2012, 315-317.

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