Tensor mixto

En un campo tensorial, un tensor mixto es aquel tensor que no es ni estrictamente covariante ni estrictamente contravariante; es decir, al menos uno de sus índices será un subíndice (covariante) y al menos uno de sus índices será un superíndice (contravariante).

Un tensor mixto de tipo o valencia $(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{N})$, también escrito "tipo (M, N)", con ambos M > 0 y N > 0, es un tensor que tiene M índices contravariantes y N índices covariantes. Un tensor de este tipo puede definirse como una función lineal que asigna una tupla (M + N) de M 1-formas y N vectores a un escalar.

Cambio del tipo de tensor

Considérese el siguiente octeto de tensores relacionados:

$T_{\alpha \beta \gamma },T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },T^{\alpha \beta \gamma }.$

El primero es covariante, el último es contravariante y los restantes mixtos. Notablemente, estos tensores se diferencian entre sí por la covarianza/contravarianza de sus índices. Un índice contravariante dado de un tensor se puede reducir usando el tensor métrico g_μν, y un índice covariante dado se puede aumentar usando el tensor métrico inverso g^μν. Por lo tanto, g_μν podría denominarse "operador de reducción del índice" y g^μν "operador de elevación del índice".

Generalmente, el tensor métrico covariante, contraído con un tensor de tipo (M, N), produce un tensor de tipo (M − 1, N + 1), mientras que su inversa contravariante, contraída con un tensor de tipo (M, N), produce un tensor de tipo (M + 1, N − 1).

Ejemplos

Como ejemplo, se puede obtener un tensor mixto de tipo (1, 2) elevando un índice de un tensor covariante de tipo (0, 3),

$T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }=T_{\alpha \beta \gamma }{g}^{\gamma \lambda },$

donde $T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }$ es el mismo tensor que $T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }$, porque

$T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }{\delta }_{\lambda }{}^{\gamma }=T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },$

Kronecker δ actúa aquí como una matriz de identidad.

Asimismo,

$T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }{g}^{\beta \lambda },$

$T_{\alpha }{}^{\lambda ϵ}=T_{\alpha \beta \gamma }{g}^{\beta \lambda }{g}^{\gamma ϵ},$

$T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }{T}^{\alpha \beta \lambda },$

$T^{\alpha }{}_{\lambda ϵ}=g_{\lambda \beta }{g}_{ϵ\gamma }{T}^{\alpha \beta \gamma }.$

Elevar un índice del tensor métrico equivale a contraerlo con su inverso, obteniendo la delta de Kronecker,

$g^{\mu \lambda }{g}_{\lambda \nu }=g^{\mu }{}_{\nu }={\delta }^{\mu }{}_{\nu },$

por lo que cualquier versión mixta del tensor métrico será igual a la delta de Kronecker, que también será mixta.

Véase también

• Covarianza y contravarianza
• Convenio de suma de Einstein
• Cálculo de Ricci
• Tensor (definición intrínseca)
• Tensor de dos puntos

Bibliografía

• D.C. Kay (1988). Tensor Calculus. Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA). ISBN 0-07-033484-6. 
• Wheeler, J.A.; Misner, C.; Thorne, K.S. (1973). «§3.5 Working with Tensors». Gravitation. W.H. Freeman & Co. pp. 85-86. ISBN 0-7167-0344-0. 
• R. Penrose (2007). El camino a la realidad: Una guía completa a las leyes del universo. Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4. 

Enlaces externos

• Índice de gimnasia, Wolfram Alpha