Submatriz

En matemáticas, una submatriz es una matriz formada por la selección de ciertas filas y columnas de una matriz más grande. También podemos definirla como un arreglo rectangular que se encuentra en subconjuntos específicos de las filas y columnas de la matriz dada.

Definición

Sea $A$ una matriz $n\times m$ y sean $I_A=\{1,2,\mathrm{...},n\}$ y $J_A=\{1,2,\mathrm{...},m\}$ los conjuntos de índices de las filas y columnas de $A$ respectivamente. Definimos $B$ una submatriz de $A$ como la matriz resultante de escoger $I_B\subseteq I_A$ y $J_B\subseteq J_A$, donde $I_B$ y $J_B$ serán los índices de las filas y columnas de la matriz $B$. Es decir, las filas y columnas de $B$ corresponden a las filas y columnas de $A$ con los índices en $I_B$ y $J_B$ respectivamente.

Por ejemplo:

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right]$

En este caso $I_A=\{1,2,3\}$ y $J_A=\{1,2,3,4\}$, si escogemos $I_B=\{1,2\}$ y $J_B=\{1,3,4\}$ obtenemos:

$𝐁=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{23}& a_{24}\end{array}\right]$

En este ejemplo si queremos referirnos a la submatriz $B$ sin necesidad de definirla entrada por entrada, usamos la siguiente notación, $B=A[\{1,2\};\{1,3,4\}]$. De manera general decimos que $A[I_B;J_B]$ es la submatriz resultante de escoger $I_B$ y $J_B$ como conjunto de índices de las filas y columnas de la submatriz.

Submatriz principal

Una submatriz es principal cuando se escoge $I_B=J_B$, es decir los conjuntos de índices de las filas y columnas son iguales. Para facilitar la notación se escribe $A[I_B;I_B]=A[I_B]$.

Por ejemplo:

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right]$

Tomando $I_B=\{2,3\}$.

$𝐀[\{2,3\}]=\left[\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$

$A[\{2,3\}]$ es una submatriz principal de $A$.

Submatriz principal superior

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ y $I_A=\{1,\dots ,n\}$ el conjunto de índices de $A$, si tomamos $k\in I_A$, la matriz principal $A[\{1,\dots ,k\}]$ es una submatriz principal superior de $A$.

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right]$

Tomando $k=3$:

$𝐀[\{1,2,3\}]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$

$A[\{1,2,3\}]$ es una submatriz principal superior de $A$.

Submatriz principal inferior

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ y $I_A=\{1,\dots ,n\}$ el conjunto de índices de $A$, si tomamos $k\in I_A$ , decimos que la matriz principal $A[\{k,\dots ,n\}]$ es una submatriz principal inferior de $A$.

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right]$

Tomando $k=2$:

$𝐀[\{2,3,4\}]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right]$

$A[\{2,3,4\}]$ es una submatriz principal inferior de $A$.

Véase también

• Menores principales

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Submatrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Block matrix en PlanetMath.