Seno hiperbólico

Seno hiperbólico
Archivo:Sinh plot real.png Gráfica de Seno hiperbólico
Definición	$\sinh x$
Tipo	Función real
Dominio	$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$
Codominio	$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$
Imagen	$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$
Propiedades	Biyectiva Elemental impar Estrictamente creciente Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada	$\cosh x$
Función primitiva	$\cosh x$
Función inversa	$\mathrm{arcsinh}x$
Límites	$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\sinh x=-\mathrm{\infty }$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sinh x=+\mathrm{\infty }$
Funciones relacionadas	Coseno hiperbólico Tangente hiperbólica

El seno hiperbólico es una función real de variable real $x$, que se designa con $\sinh (x)$ está definida mediante la siguiente ecuación:

$\sinh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

donde $e^x$ es la función exponencial. Esta función, junto con el coseno hiperbólico y la tangente hiperbólica, conforman unas identidades como las trigonométricas circulares, pero con algunas excepciones. Entre ellas:

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

$\tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$

Su relación con el seno está dada por:

$\sin (x)=-i\sinh (ix)$

Propiedades

• Las funciones circulares seno y coseno están vinculadas con el círculo unitario de frontera x² + y² = 1, mediante la ecuación sen² α + cos²α =1; de igual manera, las hiperbólicas están vinculadas con la hipérbola x² - y² = 1, por medio de cosh² t -sinh² t = 1 donde t = 2 áreas de OCA, O = origen de coordenadas, A punto de la hipérbola, C vértice de la misma.

• La función sinh(x) es una función impar, ya que para todo valor de x, se cumple que

$\sinh (-x)=-\sinh (x)$

• La función senh x es creciente, puesto que su derivada es mayor que 0, en todo su campo de definición.
• El punto (0; 0) es punto de inflexión, pues la segunda derivada varía de signo al pasar la función de valores negativos a valores positivos. Además es cóncava hacia abajo para x <0; y convexa hacia arriba para x > 0.

Derivadas

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sinh (x)=\cosh (x)$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cosh (x)=\sinh (x)$

Véase también

• Trigonometría
• Identidad trigonométrica
• Función hiperbólica
• Coseno hiperbólico

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Hyperbolic Sine». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.