Imagen (matemática)

En matemáticas, la imagen, campo de valores o rango de una función $f : X \to Y$ , también llamada la imagen de $X$ bajo $f$ , es el conjunto contenido en $Y$ formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función.

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Ejemplo de imagen: La imagen del conjunto X es el conjunto Y, porque todos sus valores son imagen de alguno del conjunto X. Imágenes particulares de los valores: la imagen de 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será C y la de 4 será C también.

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Ejemplo de Subconjunto imagen: Subconjunto imagen de X (D,B,A) dentro del conjunto Y (aquí Y no es imagen de X, porque no todos sus valores son imagen de algún valor del conjunto de X). Imágenes particulares de los valores: La imagen de 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será A, y C no es imagen de nadie (no tiene antiimagen).

Se puede denotar como $i m (f)$ , $f (X)$ , ${Im}_{f}$ o bien $I_{f}$ y formalmente está definida por:

{Im}_{f} := {y \in Y | \exists x \in X, f (x) = y}

Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia al valor que le corresponde bajo la función. Esto es, si $f : A \to B$ es una función, entonces la imagen del elemento $a \in A$ es el elemento $f (a) \in B$ .

Diferencia con el codominio

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El conjunto imagen siempre es un subconjunto del codominio.

Es importante diferenciar el concepto de codominio del concepto de conjunto imagen.

Si $f : X \to Y$ es una función, al conjunto $Y$ se le conoce como codominio, mientras que el conjunto imagen consta únicamente de los valores que realmente toma.

Por ejemplo, la función $f : ℝ \to ℝ, f (x) = x^{2}$ tiene por codominio el conjunto $ℝ$ (todos los números reales), pero como $x^{2}$ nunca toma valores negativos, el conjunto imagen está formado únicamente por los números reales no negativos y se representa con el conjunto:

${Im}_{f} = {x \in ℝ : x \geq 0}$

En general, el conjunto imagen es un subconjunto del codominio, y cuando el rango coincide con el codominio se dice que la función es sobreyectiva o suprayectiva.

Véase también

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Imagen (matemática)». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.