Seminorma

Una seminorma es una generalización del concepto de norma vectorial que se define a partir de un producto escalar el cual no es definido positivo o se dice que es semiescalar.

Definición

Sea V un espacio vectorial real. Llamamos producto semiescalar sobre $V\times V$ al mapeo $\{x,y\}\in V\times V\to ((x,y))\in R$ tal que satisface las siguientes condiciones

i. $((\sum _{i=1}^n{\lambda }^i{x}_i,y))=\sum _{i=1}^n{\lambda }^i((x_i,y))$, linealidad respecto a $x$

ii. $((x,\sum _{j=1}^m{\mu }^j{y}_j))=\sum _{j=1}^m{\mu }^j((x,y_j))$, linealidad respecto a $y$

iii. $((x,y))=((y,x))$, simetría

iv. $((x,x))>=0$ para toda $x\in V$, positividad.

Si $((x,y))$ es un producto semiescalar entonces $||x||=\sqrt{((x,x))}$ es una seminorma. Y será una norma si $((x,y))$ es un producto escalar con la condición (iv) $((x,x))>0$, es decir definida positiva.

Referencias

• Applied Functional Analysis. Second Edition Jean-Pierre Aubin. Wiley Inter-Science.