Productorio

Letra pi mayúscula, notación del productorio.

El productorio o productoria, también conocido como multiplicatorio, multiplicatoria, producto o infrecuentemente pitatoria o pitatorio (por denotarse como una letra pi mayúscula), es una notación matemática que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria (finita o infinita).

Notación

La notación se expresa con la letra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:

Para todos los valores m < n

\prod_{k = m}^{n} a_{k} = a_{m} \cdot a_{m + 1} \cdot \dots \cdot a_{n}

Si m = n tenemos que:

m = n, \prod_{k = m}^{n} a_{k} = \prod_{k = m}^{m} a_{k} = a_{m}

En el caso de que m sea mayor que n, m > n, se le asigna el valor del elemento neutro de la multiplicación, el uno:

m > n, \prod_{k = m}^{n} a_{k} = 1

Se puede definir por inducción como sigue.

1. Se define

\prod_{k = 1}^{1} a_{k} = a_{1}

2. Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define

\prod_{k = 1}^{n + 1} a_{k} = (\prod_{k = 1}^{n} a_{k}) a_{n + 1}

Ejemplo

Se puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes. Así, tomando n=1 y aplicando la segunda igualdad se obtiene:

\prod_{k = 1}^{2} a_{k} = (\prod_{k = 1}^{1} a_{k}) (a_{2}) = a_{1} a_{2}

.

Definida para n=2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n=2 para luego obtener

\prod_{k = 1}^{3} a_{k} = (\prod_{k = 1}^{2} a_{k}) (a_{3}) = (a_{1} a_{2}) a_{3}

.

Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto $(𝑎_{1} 𝑎_{2}) 𝑎_{3}$ es el mismo que $𝑎_{1} (𝑎_{2} 𝑎_{3})$ y, por lo tanto, podemos prescindir del uso de paréntesis sin peligro de confusión y usar simplemente

a_{1} a_{2} a_{3} = \prod_{k = 1}^{3} a_{k}

.

Se puede entonces, usar este razonamiento para cualquier $n \in ℕ$ sin que haya peligro de confusión.

Otro ejemplo de productorio muy conocido es el que se utiliza para definir n! (n factorial) como sigue:

\prod_{k = 1}^{n} k = n!

Se define $0! = 1! = 1$

Propiedades

Se puede usar el método de inducción matemática para demostrar algunas propiedades. Para ello, nos basaremos en la definición formal por inducción descrita anteriormente.

Propiedad Multiplicativa

\prod_{k = 1}^{n} (a_{k} b_{k}) = (\prod_{k = 1}^{n} a_{k}) (\prod_{k = 1}^{n} b_{k})

Demostración por Inducción i) Tomemos n=1 y veamos si se cumple la igualdad

\prod_{k = 1}^{1} (a_{k} b_{k}) = a_{1} b_{1} = (\prod_{k = 1}^{1} a_{k}) (\prod_{k = 1}^{1} b_{k})

y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

\prod_{k = 1}^{n + 1} (a_{k} b_{k}) = [\prod_{k = 1}^{n} (a_{k} b_{k})] (a_{n + 1} b_{n + 1})

\prod_{k = 1}^{n + 1} (a_{k} b_{k}) = (\prod_{k = 1}^{n} a_{k}) (\prod_{k = 1}^{n} b_{k}) a_{n + 1} b_{n + 1}

(Definición por inducción)

\prod_{k = 1}^{n + 1} (a_{k} b_{k}) = [(\prod_{k = 1}^{n} a_{k}) (a_{n + 1})] [(\prod_{k = 1}^{n} b_{k}) (b_{n + 1})]

(Asociatividad en IR) Luego,

\prod_{k = 1}^{n + 1} (a_{k} b_{k}) = (\prod_{k = 1}^{n + 1} a_{k}) (\prod_{k = 1}^{n + 1} b_{k})

Propiedad Telescópica

\prod_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{a_{k - 1}} = \frac{a_{n}}{a_{0}}, si cada a_{k} \neq 0

Demostración por Inducción

i) Analicemos para n=1

\prod_{k = 1}^{1} \frac{a_{k}}{a_{k - 1}} = \frac{a_{1}}{a_{0}}, con: a_{0} \neq 0 y la igualdad es cierta para: n = 1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

\prod_{k = 1}^{n + 1} \frac{a_{k}}{a_{k - 1}} = (\prod_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{a_{k - 1}}) (\frac{a_{n + 1}}{a_{n}})

(Definición por inducción)

Luego,

\prod_{k = 1}^{n + 1} \frac{a_{k}}{a_{k - 1}} = \frac{a_{n}}{a_{0}} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

que es lo que queríamos demostrar.

Nótese que nuestra exigencia era que para cada $𝑘$ , $a_{k} \neq 0$ . En particular, para $𝑘 = 𝑛$ , $a_{k} = a_{n} \neq 0$ . Luego la simplificación es posible y

\prod_{k = 1}^{n + 1} \frac{a_{k}}{a_{k - 1}} = \frac{a_{n + 1}}{a_{0}}

.

Véase también

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Product». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

hu:Szorzás