Peritrocoide

Archivo:01 Peritrochoide-Wankelmotor.svg

Motor Wankel: debido a la superposición de dos movimientos de rotación del pistón rotatorio alrededor de los puntos $O$ y $M$, el contorno de la carcasa adquiere la forma de una peritrocoide como base

La peritrocoide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento por otra circunferencia fija situada en su interior (directriz). Es un tipo de ruleta cicloidal.

Desde el punto de vista mecánico, es una trayectoria que se genera cuando una corona de radio $R$ (círculo verde en la imagen) rueda sobre un engranaje dentado interno estacionario de radio $r$ (círculo azul en la imagen). La superposición de dos movimientos circulares (alrededor de $O$ y de $M$, véase la animación adyacente) se genera tomando un punto $P$ fijado con respecto al engranaje móvil (verde). La distancia (puntero) del centro $M$ a $P$ es mayor que el radio $r$ del engranaje móvil.

La relación de longitudes de los radios es $q$ = $\frac{R}{r},$, también llamada relación de transmisión. Si se localiza un segundo punto fijo, la peritrocoide se representa mediante un punto fijo $D$ en el engranaje móvil (verde), a una distancia de $M$ igual al radio $r$ (véase la imagen adyacente). El punto $D$ también describe una pericicloide (rojo) a medida que el engranaje gira alrededor de $O$.

Construcción

Archivo:01 Epizykloide-Epitrochoide-Animation.gif

Animación: durante una revolución del pistón rotatorio alrededor del centro $M$ del engranaje (verde), el engranaje gira tres veces alrededor del centro $O$, con lo que el puntero $|\overline{MP}|$ genera tanto la peritrocoide (azul) como la pericicloide (rojo).
⇒ Dirección de rotación vista desde el par de engranajes aquí

Para el ejemplo representado en la figura, se han tomado los parámetros siguientes:

• Engranaje fijo: $R=2$
• Engranaje móvil: $r=3$
• Excentricidad: $e=r-R=1$
• Distancia (longitud del puntero): $|\overline{MP}|=6$

Tras fijar los ejes de coordenadas, se dibujan el círculo alrededor de $O$ con radio $R=2$ (azul) del engranaje estacionario y el círculo excéntrico alrededor de $O$ con radio $e=1$. El punto $M$ del círculo excéntrico se puede elegir arbitrariamente (en la imagen, con un ángulo $150^{\circ }$ respecto al eje x). A continuación se dibuja el círculo del engranaje móvil (verde) con radio $r=3$, así como otro con radio igual a $6$ alrededor de $M$. Una línea paralela al eje y desde el punto $M$ hasta el círculo recién dibujado da como resultado el punto de intersección $C$. La siguiente recta (no mostrada) que pasa por $O$ y $M$ crea el punto de intersección $A$ y el punto de tangencia $B$ de los dos engranajes. Al dividir el ángulo resultante $\gamma$ entre tres, el puntero se obtiene como la distancia $|\overline{MP}|$ y el punto de intersección $D$. Al trazar el ángulo $120^{\circ }$ dos veces en el vértice $M$ y el cateto $|\overline{MP}|$, se determinan los puntos $P^{\prime }$ y $P^{″}$. Tras extender el segmento $\overline{M{P}^{\prime }}$ más allá de $P^{\prime }$ y definir el punto $S$ a una distancia de $|\overline{MS}|=3r+e=10$, los puntos $P$ y $P^{″}$ se conectan mediante un arco de radio $R_K=4r+2e=14$ alrededor de $S$. Para completar la forma del pistón rotatorio, el arco recién creado $S{P}^{″}P$ se refleja en el segmento $\overline{MP}$. Finalmente, la conexión resultante $P{P}^{\prime }$ se refleja en el segmento $\overline{M{P}^{\prime }}$.

Lo siguiente se aplica a las representaciones paramétricas de las dos curvas en coordenadas cartesianas (centro $M$ con tres rotaciones alrededor de $O$):

Peritrocoide (azul)

$\begin{array}{c}x(t)=(r+e+R)\cdot \cos \left(\frac{R}{r+e}t\right)-\cos \left(\frac{r+e+R}{r+e}t\right)\\ y(t)=(r+e+R)\cdot \sin \left(\frac{R}{r+e}t\right)-\sin \left(\frac{r+e+R}{r+e}t\right)\end{array}\}0\le t\le 6\pi$

Pericicloide (rojo)

$\begin{array}{c}x(t)=(R+e)\cdot \cos \left(\frac{e}{R}t\right)-\cos \left(\frac{R+e}{R}t\right)\\ y(t)=(R+e)\cdot \sin \left(\frac{e}{R}t\right)-\sin \left(\frac{R+e}{R}t\right)\end{array}\}0\le t\le 6\pi$

Aplicaciones

El diseño de la peritrocoide descrito forma parte del diseño de la cámara de combustión en el bloque de un motor Wankel, como una trocoide de dos arcos $q$ = $\frac{R}{r}=\frac{2}{3}$. «Si se elige una relación de transmisión diferente, por ejemplo, 1:2, 3:4, 4:5, etc., la primera cifra siempre indica el número de arcos trocoidales, y la segunda cifra indica el número de esquinas del pistón».

Sin embargo, en la práctica, el contorno real de la carcasa fabricada se desvía ligeramente de la peritrocoide, ya que el pistón giratorio tiene tiras de sellado redondeadas en lugar de puntas afiladas.

Curvas cíclicas

Clasificación de las curvas cíclicas:

La directriz es una recta
d = r	d < r	d > r
cicloide	trocoide
cicloide normal	cicloide acortada	cicloide alargada

La directriz es una circunferencia
	d = r	d < r	d > r
La generatriz es exterior a la directriz	epicicloide	epitrocoide
	epicicloide normal	epicicloide acortada	epicicloide alargada
La generatriz es interior a la directriz	hipocicloide	hipotrocoide
	hipocicloide normal	hipocicloide acortada	hipocicloide alargada
La directriz es interior a la generatriz	pericicloide	peritrocoide
	pericicloide normal	pericicloide acortada	pericicloide alargada

Véase también

• Motor Wankel