Nabla

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El símbolo nabla

En geometría diferencial, nabla (también llamado del) es un operador diferencial vectorial representado por el símbolo: $\mathrm{\nabla }$ (nabla).

En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como

$\mathrm{\nabla }=\hat{x}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z},$

siendo $\hat{x}$, $\hat{y}$ y $\hat{z}$ los vectores unitarios en las direcciones de los ejes coordenados. Esta base también se representa por $\hat{ı}$, $\hat{ȷ}$, $\hat{k}$.

Simbología

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El arpa, el instrumento que da nombre al símbolo nabla

El nombre del símbolo ∇ proviene de la palabra griega equivalente a la palabra hebrea arpa, instrumento musical que tiene una forma similar. Hay palabras relacionadas en los lenguajes arameo y hebreo. El símbolo fue usado por primera vez por William Rowan Hamilton, pero de forma lateral: ◁. Otro nombre menos conocido del símbolo es atled (delta deletreado al revés), porque nabla es una letra griega delta (Δ) invertida: en el griego actual se la llama ανάδελτα (anádelta), que significa "delta invertida".

En HTML se escribe ∇ y en LaTeX como \nabla. En Unicode, es el carácter U+2207, o 8711 en notación decimal.

Aplicaciones del operador nabla

En coordenadas cartesianas

En este caso el operador nabla $(\mathrm{\nabla }=\hat{x}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z})$ puede aplicarse a campos escalares $(\varphi )$ o a campos vectoriales $(𝐅=F_x\hat{x}+F_y\hat{y}+F_z\hat{z})$ para las siguientes operaciones:

• Gradiente:	$\mathrm{\nabla }\varphi =\hat{x}\frac{\partial \varphi }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial \varphi }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial \varphi }{\partial z}$
• Divergencia:	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$
• Rotacional:	$\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\hat{x}(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})+\hat{y}(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})+\hat{z}(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})$
• Laplaciano:	${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\Delta \varphi =\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}$

Otros sistemas de coordenadas ortogonales

Gradiente

Cuando se emplean sistemas de coordenadas diferentes de las coordenadas cartesianas, la expresión de nabla debe generalizarse, por lo que en la expresión aparecen los factores de escala $h_i$. Para un sistema de coordenadas generales con vectores de la base ${\hat{q}}_i$, la expresión del gradiente de un campo escalar $V$ es

$\mathrm{\nabla }V=\frac{{\hat{q}}_1}{h_1}\frac{\partial V}{\partial q_1}+\frac{{\hat{q}}_2}{h_2}\frac{\partial V}{\partial q_2}+\frac{{\hat{q}}_3}{h_3}\frac{\partial V}{\partial q_3},$

de manera que el operador nabla se puede escribir como

$\mathrm{\nabla }=\frac{{\hat{q}}_1}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}+\frac{{\hat{q}}_2}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}+\frac{{\hat{q}}_3}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}$

Puede verse que si en estas expresiones se sustituyen los vectores de la base cartesiana y sus factores de escala $h_1=h_2=h_3=1$, se obtienen la expresiones mencionadas más arriba para coordenadas cartesianas.

En particular, para coordenadas cilíndricas ($h_{\rho }=h_z=1,h_{\phi }=\rho$) resulta

$\mathrm{\nabla }=\hat{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }+\frac{\hat{\phi }}{\rho }\frac{\partial }{\partial \phi }+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}$

y para coordenadas esféricas ($h_r=1,h_{\theta }=r,h_{\phi }=r\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta$)

$\mathrm{\nabla }=\hat{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\hat{\theta }}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\hat{\phi }}{r\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta }\frac{\partial }{\partial \phi }$

Otras operaciones

El uso de nabla en sistemas diferentes al cartesiano para otras operaciones vectoriales no tiene cualidad de operador. En estos casos el uso de nabla se considera meramente simbólico, ya que la dependencia de las componentes de los vectores respecto de la base hace imposible aislar una expresión para $\mathrm{\nabla }$ de la misma forma que se hizo con el gradiente. Por ejemplo, en el caso del cálculo de la divergencia, la expresión en coordenadas generales es

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}(\frac{\partial }{\partial q_1}(h_2{h}_3{A}_1)+\frac{\partial }{\partial q_2}(h_1{h}_3{A}_2)+\frac{\partial }{\partial q_3}(h_1{h}_2{A}_3)),$

donde se ve que no hay manera fácil de expresar qué factores de escala se multiplican dentro de cada diferencial a través de un operador.

Definiciones alternativas

Definición intrínseca

Puede darse una definición del operador nabla que no depende del sistema de coordenadas que se emplee. Esta definición es una generalización de la que se emplea para definir la divergencia:

$\mathrm{\nabla }\star A=\underset{\Delta V\to 0}{lim}\frac{1}{\Delta V}\oint A\star d\overrightarrow{S}$

En la expresión anterior $\star$ representa un producto arbitrario (escalar, vectorial, tensorial o por un escalar) y $A$ es un campo escalar, vectorial o tensorial. $\Delta V$ es un volumen diferencial que en el límite se reduce a un punto. De esta forma pueden definirse de forma intrínseca el gradiente, la divergencia, el rotacional y otros operadores sin nombre propio.

Relación con la derivada covariante

El operador nabla también se aplica a variedades diferenciables.

Dada una variedad diferenciable dotada de una conexión que dé lugar a una derivada covariante, se define el operador nabla como la aplicación del conjunto de funciones sobre la variedad o 0-formas al conjunto de 1-formas de dicha variedad. Fijado un sistema local de coordenadas, se expresa como:

$\mathrm{\nabla }f=\sum _{\alpha }{f}_{;\alpha }d{x}^{\alpha }$

La derivada covariante sube el orden del tensor al que se le aplica. Por ejemplo para un campo vectorial $\overrightarrow{v}$ en tres dimensiones su derivada covariante sería un tensor de segundo orden de 9 componentes (una matriz 3×3)

La derivada covariante puede representarse en este contexto como $\mathrm{\nabla }\otimes \overrightarrow{v}$, donde $\otimes$ representa el producto diádico.

Con esto ante pequeños desplazamientos el vector cambiaría según: $\delta \overrightarrow{v}=(\mathrm{\nabla }\otimes \overrightarrow{v})\cdot \delta \overrightarrow{r}$

Relación con la diferencial exterior

Todas las expresiones que involucran el operador nabla del cálculo vectorial en ${ℝ}^3$ puede ser expresadas en términos de diferencial exterior de una n-forma n < 3 sobre ${ℝ}^3$:

• El gradiente de una función se asocia con la diferencial exterior de una 0-forma.
• El rotacional de un campo vectorial se asocia con la diferencial exterior de una 1-forma.
• La divergencia de un campo vectorial se asocia con la diferencial exterior de una 2-forma.

Una función es una 0-forma sobre el espacio euclidiano, su gradiente es:

$\mathrm{\nabla }f=(df{)}^{\mathrm{♯}},(\mathrm{\nabla }f{)}^i=g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j}$

donde $g^{ij}$ son las componentes del inverso del tensor métrico en las coordenadas $\{x^j\}$, obviamente en coordenadas cartesianas $g^{ij}={\delta }_i^j$.

El rotacional de un campo vectorial puede asociarse con la diferencial exterior de una 1-forma.

$\mathrm{\nabla }\times 𝐀=\ast (d({𝐀}^{\mathrm{♭}})),(\mathrm{\nabla }\times 𝐀{)}^i={ϵ}^{ijk}\frac{\partial }{\partial x^j}(g_{kl}{A}^l)$

donde $\ast$ es el operador dual de Hodge y $g_{ij}$ son las componentes del tensor métrico en las coordenadas $\{x^j\}$.

La divergencia de un campo vectorial puede asociarse con la diferencial exterior de una 2-forma.

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\ast d(\ast ({𝐀}^{\mathrm{♭}})),(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀{)}^i=\frac{1}{2}{ϵ}^{mjk}\frac{\partial }{\partial x^m}({ϵ}_{ijk}{g}_{il}{A}^l)$

El laplaciano de una función se puede asociar con la aplicación de dos diferenciales exteriores alternadas con dos operaciones duales de Hodge:

$\Delta f=\ast d(\ast df),\Delta 𝐀=\ast d(\ast d{𝐀}^{\mathrm{♭}})$

Álgebra del operador ∇

Al tratarse de un operador diferencial, el resultado de su aplicación sobre un producto sigue reglas similares a la derivada de un producto. Sin embargo, dependiendo del carácter de los entes sobre los que actúa, el resultado puede tener una expresión más o menos complicada. Las fórmulas más importantes son:

$\mathrm{\nabla }(\varphi \psi )=(\mathrm{\nabla }\varphi )\psi +\varphi (\mathrm{\nabla }\psi )$

$\mathrm{\nabla }\cdot (\varphi \overrightarrow{A})=(\mathrm{\nabla }\varphi )\cdot \overrightarrow{A}+\varphi (\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A})$

$\mathrm{\nabla }\times (\varphi \overrightarrow{A})=(\mathrm{\nabla }\varphi )\times \overrightarrow{A}+\varphi (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A})$

$\mathrm{\nabla }(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B})=\overrightarrow{B}\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A})+\overrightarrow{A}\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B})+(\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{A}+(\overrightarrow{A}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{B}$

$\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})=(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A})\cdot \overrightarrow{B}-(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{A}$

$\mathrm{\nabla }\times (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})=(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B})\overrightarrow{A}+(\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{A}-(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A})\overrightarrow{B}-(\overrightarrow{A}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{B}$

Véase también

• Ecuaciones de Maxwell
• Nabla en coordenadas cilíndricas y esféricas
• Tabla de símbolos matemáticos

Bibliografía

• Historia del símbolo Nabla: "Nabla no es una letra griega"
• Cleve Moler, ed., "History of Nabla", NA Digest 98 (Jan. 26, 1998).

Bibliografía avanzada

• Div, Grad, Curl, and All That, H. M. Schey, ISBN 0-393-96997-5