Horizonte

Archivo:Sunset render with Terragen.jpg

Representación artística del horizonte por computador.

Archivo:Tres horizontes.png

Diagrama de tres tipos de horizontes: astronómico, real y visible.

El horizonte (del francés antiguo: orizon; y este, vía latín, del griego antiguo: ὁρίζων (horízōn), de ὅρος (hóros, “límite”)) es la línea aparente que separa la superficie de un cuerpo celeste, como la Tierra, del cielo cuando se observa desde la perspectiva de un observador sobre o por encima de la superficie de tal cuerpo celeste. Atendiendo al punto de vista de un observador desde la Tierra se definen los siguientes tipos de horizontes terrestres:

• El horizonte real o verdadero, el círculo menor de una superficie cónica con vértice en el observador y tangente a la superficie esférica terrestre).
• El horizonte aparente, (el horizonte determinado por los efectos de la refracción atmosférica, la cual puede hacer que objetos lejanos parezcan más altos o más bajos de lo que realmente son).
• Y el horizonte visible, (el horizonte refractado oculto por el terreno).

El coincide horizonte real aproximadamente con el horizonte aparente cerca del nivel del mar.

En astronomía, el horizonte astronómico o celeste se define como el plano que pasa por el centro de la Tierra y es perpendicular a la línea cenit-nadir (la dirección local de la gravedad, la cual difiere ligeramente de un radio de la Tierra debido al achatamiento terrestre). Dado que el radio terrestre es despreciable frente a la magnitud de la esfera celeste, este plano coincide prácticamente en el infinito con el plano horizontal perpendicular a la gravedad que pasa por los ojos del observador. La diferencia angular entre este plano horizontal de referencia y el horizonte aparente se denomina depresión del horizonte y constituye un factor crítico en la navegación astronómica.

Archivo:Moon size illusion.png

Dibujo en perspectiva con una línea de horizonte en donde las rectas paralelas convergen en un punto de fuga.

En el dibujo en perspectiva cónica, la línea del horizonte (o nivel de ojo) es la línea que proyecta del plano del suelo o geometral en el plano del cuadro. La línea del horizonte puede estar por encima, a nivel o por debajo del centro del dibujo, lo que corresponde a mirar hacia abajo, directamente hacia la escena dibujada o hacia arriba. Es el lugar donde convergen todas las rectas paralelas y los planos horizontales a uno o más puntos de fuga.

Etimología

La palabra horizonte deriva del griego antiguo (horízōn kýklos; "límite de la rueda" o "círculo separador"), donde es del verbo ὁρίζω (horízō) "dividir, separar", que a su vez deriva de (hóros) "límite".

Tipos de horizontes

Horizontes terrestres

Archivo:Astronomical, true, and visible horizon.svg

Diagrama que muestra la definición de los horizontes astronómico, real y aparente.
$AM(e)$: Altitud del observador.
$H^{\prime }H$: Horizonte astronómico.
$C^1{C}^2{C}^3{C}^4$: Horizonte real teórico.
$B^1{B}^2{B}^3{B}^4$: Horizonte aparente refractado (debido a la refracción atmosférica). $\alpha$: Depresión del horizonte.

Atendiendo al punto de vista de un observador desde la Tierra se definen los siguientes tipos de horizontes terrestres:

• Horizonte real: es un plano ideal tangente a la superficie de la Tierra, $C^1{C}^2{C}^3{C}^4$, desde la línea de visión del observador, $A$. Tridimensionalmente el horizonte es una superficie cónica con vértice en el observador y tangente a la superficie terrestre. Este horizonte geométrico o teórico asume una Tierra esférica perfecta y no toma en cuenta la alteración por refracción atmosférica o la obstrucción por objetos intermedios. Su distancia en kilómetros es aproximadamente la altura del observador en metros multiplicada por la raíz cuadrada de 13. Cuando la refracción es mínima, el horizonte visible desde el nivel del mar es lo más cercano que un observador puede estar a ver el horizonte real.
• Horizonte aparente: es el horizonte determinado por la refracción atmosférica, $B^1{B}^2{B}^3{B}^4$, que permite ver por debajo del horizonte real. La refracción puede hacer que objetos lejanos parezcan más altos o, menos a menudo, más bajos de lo que realmente son. Una refracción inusualmente grande puede hacer que un objeto lejano aparezca por encima del horizonte refractado o desaparezca debajo de él.
• Horizonte visible: que es el horizonte refractado oculto por el terreno y, en la Tierra, por formas de vida como árboles y/o construcciones humanas como edificios.

Para los observadores cerca del nivel del mar, la diferencia entre este horizonte geométrico (que asume un plano de tierra infinito perfectamente plano) y el horizonte verdadero (que asume una superficie esférica de la Tierra) es imperceptible a simple vista. Sin embargo, para alguien en una colina de 1000 m (3300 pies) mirando al mar, el horizonte verdadero estará aproximadamente un grado por debajo de una línea horizontal.

Horizonte astronómico

En astronomía, el horizonte astronómico o celeste, $B^1{B}^4$, se define como un plano que pasa por el centro de la Tierra y es perpendicular a la línea cenit-nadir (un radio desde el centro de la Tierra hacia la superficie) o la vertical, $Z$. Los términos de su definición consideran que la esfera celeste no está centrada a la vertical del observador sino al centro de la Tierra. Como el radio de la Tierra es despreciable frente a la magnitud de la esfera celeste, este plano coincide con el plano perpendicular al radio de la Tierra que pasa por los ojos del observador, $H^{\prime }H$. Sin embargo, este horizonte astronómico se encuentra por encima del horizontes terrestre (o marino) aparente, $F$. En consecuencia, cuando el observador está elevado, el ángulo cenital con respecto al horizonte aparente $ZAF$ puede ser superior a 90°, coincidiendo aproximadamente con respecto al horizonte astronómico $ZAH$ cuanto más cerca se esté del nivel del mar, $AM(e)\approx 0$. La diferencia entre el horizonte astronómico y el horizonte aparente, medido en arcos, $\alpha$, se denomina como "depresión del horizonte" y es un factor muy importante en agrimensura o navegación astronómica. La suma del ángulo cenital más la depresión del horizonte se denomina como el ángulo cenital máximo visible.

Horizonte real

Archivo:VHF propagation.png

Línea de visión de una antena hacia el horizonte.

El horizonte real rodea al observador y se asume que es un círculo, dibujado sobre la superficie de un modelo perfectamente esférico del cuerpo celeste relevante, es decir, un círculo menor de la esfera local. Con respecto a la Tierra, el centro del horizonte verdadero está por debajo del observador y por debajo del nivel del mar. Su radio o distancia horizontal al observador varía ligeramente de un día a otro debido a la refracción atmosférica, que se ve muy afectada por las condiciones meteorológicas. Además, cuanto más altos estén los ojos del observador respecto al nivel del mar, más lejos está el horizonte del observador. Por ejemplo, en condiciones atmosféricas estándar, para un observador con el nivel de los ojos a 1,8 metros (6 pies) sobre el nivel del mar, el horizonte está a una distancia de unos 4,8 kilómetros (3 millas).

Cuando se observa desde puntos muy altos, como una estación espacial, el horizonte está mucho más alejado y abarca una área mucho mayor de la superficie terrestre. En este caso, el horizonte dejaría de ser un círculo perfecto, ni siquiera una curva plana como una elipse, especialmente cuando el observador está por encima del ecuador, ya que la superficie terrestre puede modelarse mejor como un elipsoide oblato que como una esfera.

Cálculo de la distancia del horizonte real

Archivo:RadioHorizont h d.jpg

Fórmula y aproximación matemática de la distancia del horizonte real respecto al observador.

Suponiendo a la Tierra como una esfera perfecta (en vez de un esferoide oblato), y sin contar el efecto de la refracción atmosférica, entonces la distancia al horizonte se puede calcular fácilmente. La distancia al horizonte verdadero (geométrica) sin contar la refracción atmosférica desde un observador en altura $h$ Sobre la superficie de un cuerpo celeste que se supone que es perfectamente esférico se puede calcular usando la fórmula:

$d=\sqrt{2Rh+h^2}$

Donde:

• $d$ es la distancia al horizonte verdadero (geométrico);
• $R$ es el radio del cuerpo asumido, por ejemplo, el radio medio aritmético de la Tierra de 6.371.008,77138 metros ();
• $h$ es la altura del observador sobre la superficie, por ejemplo, la altura ortométrica de la Tierra (altura sobre el nivel medio del mar).

Ejemplos

Archivo:Ocean view towards the pale yellow horizon (Unsplash).jpg

Ocaso sobre el horizonte en Half Moon Bay.

Suponiendo que no haya refracción atmosférica y una Tierra esférica con radio R=

• Para un observador que está en el suelo con h = el horizonte está a una distancia de
• Para un observador que está en el suelo con h = , el horizonte está a una distancia de
• Para un observador situado en una colina o torre a sobre el nivel del mar, el horizonte está a una distancia de ).
• Para un observador situado en una colina o torre a sobre el nivel del mar, el horizonte está a una distancia de ).
• Para un observador que se encuentra en el tejado del Burj Khalifa, a del suelo y a unos sobre el nivel del mar, el horizonte está a una distancia de
• Para un observador en la cima del Monte Everest ( de altitud), el horizonte está a una distancia de ).
• Para un observador a bordo de un avión comercial de pasajeros que vuela a una altitud típica de ), el horizonte está a una distancia de ).
• Para un piloto de U-2, mientras vuela a su techo de servicio ), el horizonte está a una distancia de ).

Otros planetas

Archivo:NASA-Apollo8-Dec24-Earthrise-b.jpg

Fotografía Earthrise de la misión Apolo 8 en la que se aprecia la Tierra por encima del horizonte lunar.

En planetas terrestres y otros cuerpos celestes sólidos con efectos atmosféricos insignificantes, la distancia al horizonte para un "observador estándar" varía como la raíz cuadrada del radio del planeta. Así, el horizonte en Mercurio está un 62% tan lejos del observador como en la Tierra, en Marte la cifra es del 73%, en la Luna del 52%, en Mimas del 18%, y así sucesivamente.

Derivación

Teorema de la tangente-secante

Archivo:CircleChordTangent.png

Teorema de la tangente-secante.

El teorema de la tangente-secante establece que :

${\mathrm{O}\mathrm{C}}^2=\mathrm{O}\mathrm{A}\times \mathrm{O}\mathrm{B}.$

Haz las siguientes sustituciones:

• $d$ = $\mathrm{O}\mathrm{C}$ = distancia al horizonte;
• $D$ = $\mathrm{A}\mathrm{B}$ = diámetro de la Tierra;
• $h$ = $\mathrm{O}\mathrm{B}$ = altura del observador sobre el nivel del mar;
• $D$ + $h$ = $\mathrm{O}\mathrm{A}$ = diámetro de la Tierra más la altura del observador sobre el nivel del mar;

con $d$, $R$ y $h$ todos medidos en las mismas unidades. La fórmula ahora se convierte en:

$d^2=h(D+h)$

o

$d=\sqrt{h(D+h)}=\sqrt{h(2R+h)}=\sqrt{2Rh+h^2},$

donde $R$ es el radio de la Tierra (6378,1 km o 3963 millas).

Teorema de Pitágoras

Archivo:GeometricDistanceToHorizon.png

Distancia geométrica al horizonte mediante el teorema de Pitágoras.

La misma ecuación también se puede derivar usando el teorema de Pitágoras. En el horizonte, la línea de visión $\overline{HO}$ es tangente a la Tierra y también es perpendicular al radio de la Tierra $R$. Esto establece un triángulo rectángulo, con la suma del radio y la altura del observador $h$ como la hipotenusa $(R+h)$. Entonces:

$d^2+R^2=(R+h{)}^2,$

despejando $d$:

$d=\sqrt{(R+h{)}^2-R^2}$,

si expandimos el término $(R+h{)}^2$, los términos $R^2$ se cancelan y encontramos:

$d=\sqrt{2Rh+h^2}$

Por ejemplo, si un satélite está a una altitud de 2000 km, la distancia al horizonte es de 5430 km (3370 mi).

Aproximación

Archivo:Horizon distance graphs.svg

Representación logarítmica de distancias del horizonte verdadero en la Tierra para una altura h dada, donde s es la distancia a lo largo de la superficie de la Tierra, d es la distancia en línea recta y ~d es la distancia aproximada en línea recta suponiendo que h es mucho menor que el radio de la Tierra, 6371 km. Se puede desplazar el cursor sobre un gráfico para resaltarlo en la imagen SVG

Si el observador está cerca de la superficie de la Tierra, entonces es válido descartar $h^2$ en el término $2Rh+h^2$, y la fórmula se convierte en:

$d\approx \sqrt{2Rh}$

Usando kilómetros para $d$ y $R$, y metros para $h$, y tomando el radio medio de la Tierra como 6371 km, la distancia al horizonte es:

$d\approx \sqrt{2\cdot 6371\cdot h/1000}\approx 3.570\sqrt{h}.$

A 1,5 metros del suelo, entonces el horizonte está a unos 4,4 km de distancia; a 10 000 m de altitud desde un avión el horizonte está a casi 360 km de distancia; y desde la Estación Espacial Internacional en órbita, a una altitud de 420 km, el horizonte está a más de 2.300 km de distancia.

Dado que $2R$ es 12742 km entonces puede redondearse a 13000 km en la fórmula anterior, quedando:

$d\approx \sqrt{13h}.$

Usando unidades imperiales, con $d$ y $R$ en millas (como se usa comúnmente en tierra) y $h$ en pies, la distancia al horizonte es:

$d\approx \sqrt{2\cdot 3963\cdot h/5280}\approx \sqrt{1.5h}\approx 1.22\sqrt{h}$

Si d está en millas náuticas y $h$ en pies, el factor constante es aproximadamente 1,06, que está lo suficientemente cerca de 1 como para que a menudo se ignore, lo que da:

$d\approx \sqrt{h}$

Estas fórmulas se pueden usar cuando $h$ es mucho más pequeño que el radio de la Tierra (6371 km o 3959 mi), incluidas todas las vistas desde la cima de cualquier montaña, aviones o globos de gran altitud. Con las constantes dadas, tanto las fórmulas métricas como las imperiales tienen una precisión del 1% (consulte la siguiente sección para saber cómo obtener una mayor precisión). Si $h$ es significativa con respecto a $R$, como sucede con la mayoría de los satélites, la aproximación ya no es válida y se requiere la fórmula exacta.

Medidas relacionadas

Altura máxima visible respecto al horizonte

Archivo:EightInchesPerMileSquared (1).png

Diagrama que muestra la "caída" de la curvatura, $x$, y la altura oculta real, $h$, que es la elevación máxima visible desde una distancia $d$ sobre punto $P$ de la Tierra.

De las dos formulaciones anteriores para la distancia del horizonte real se puede a su vez como corolario al despejar $h$ para conocer la elevación máxima visible a una distancia dada desde un plano tangencial $d$ sobre un punto de la Tierra $P$. Luego:

$h=\sqrt{r^2+d^2}-r$

A su vez podemos usar la aproximación de la sección anterior para obtener la más sencilla ecuación:

$h\approx \frac{d^2}{2r}$

Se suele también asumir para facilitar cálculos que la distancia al horizonte $d$ es equivalente a la distancia sobre el arco terrestre $s$, es decir $d\approx s$, ya que, a pesar de que $d>s$, sobre alturas cercanas a la Tierra $h\ll r$, la diferencia es insignificante, $d-s\approx 0$.

"8 pulgadas por millas al cuadrado"

Archivo:Parabola circle.svg

La aproximación de 8 pulgadas por milla al cuadrado es la forma práctica de expresar la caída de la superficie terrestre respecto de la línea de visión tangente a la circunferencia osculatriz de la Tierra. Esta caída sigue una parábola, derivada de la aproximación, la cual se ajusta a la curvatura terrestre en distancias inferiores a 800 km o 500 millas.

Si por ejemplo tomásemos sobre el punto de la Tierra $P$ una recta tangente de 1 milla de distancia $d$ sobre una circunferencia osculatriz de un radio de 3963 millas $r$ entonces mediante la anterior ecuación obtenemos que la caída de la curvatura de la Tierra:

$h\approx \frac{d^2}{2r}=\frac{1^2}{7926}$ = 0,000126 millas, o unas 7,98 ($\approx$ 8) pulgadas.

De aquí surge la aproximación tradicional anglosajona para la curvatura terrestre de:

"8 pulgadas por cada milla de distancia elevada al cuadrado".

Dado que la aproximación expresa una parábola lo que se calcula respecto a un plano cartesiano es la "caída" de la curvatura $x$ desde un plano tangencial a la Tierra $d$. Esta "caída" es $x$ menor que la altura real ocultada, lo que equivaldría a $h$ (es decir, $h>x$), puesto que $h$ se inclina en un ángulo $a$ por la curvatura terrestre (lo equivaldría a $h=x/\cos (a)$). Luego cuanto mayor sea $d$ mayor será $a$. Sin embargo, por regla general se asume que $h\approx x$ en distancias cortas dado que $a$ es muy pequeño. De igual manera se puede asumir que $d\approx s$. Entonces:

$h\text{ (en pulgadas)}\approx 8\times d^2\text{ (en millas)}$

Esta parábola expresada en la ecuación es precisa a niveles prácticos para calcular la "caída" de la curvatura $x$ (o la máxima altura visible oculta por la curvatura si la altura del observador fuera nula, a nivel del mar; es decir, igual a 0) para distancias inferiores a 800 km o 500 millas. A partir de los 2234 km o 1388 millas, el margen de error entre $h$ y $x$ sube a un 1%. Por otro lado el margen de error entre $h$ y $x$ es menor a 0,1% para distancias menores a 258,5 km o 160,2 millas. Esta desviación crece exponencialmente a más distancia, mostrando un error del 21% de $h$ frente al cálculo pitagórico a una distancia de 3,960 millas.

La fórmula también puede ser usada para determinar la distancia del observador al horizonte si se despeja $d$ y se toma $h$ como la altura del observador. Entonces:

$d\text{ (en millas)}\approx \sqrt{\frac{h\text{ (en pulgadas)}}{8}}$

Según esta fórmula el horizonte para alguien a 6 pies (72 pulgadas) de altura está a 3 millas. Si usásemos para comparar la fórmula aproximada de la sección anterior $d\approx 1.22\sqrt{h}$ la distancia del horizonte sería de 2.98 millas.

Distancia máxima de visibilidad recíproca entre dos elevaciones

Archivo:RadioHorizont h H.jpg

Aproximación de la máxima de visibilidad recíproca entre dos elevaciones $h$ y $H$.

Dos elevaciones, $h$ y $H$, separadas por el horizonte pueden unirse por una línea recta que pase por encima de la curvatura de la Tierra, por lo que puede verse la parte superior de un objeto por encima del horizonte. Esta distancia no es otra que la suma de sus distancias de ambos horizonte:

$d\approx \sqrt{2Rh}+\sqrt{2RH}$

Por ejemplo, si un vigía de un barco $B$ está a una altura $h_B$ sobre el nivel del mar, y otra persona está en un faro $L$ de una altura $h_L$ sobre el nivel del mar, entonces la distancia visible entre ellas $D_{BL}$ es igual a $D_B+D_L$. En consecuencia, el vigía podrá ver el faro siempre que la distancia entre ellas sea menor que:

$D_B+D_L<3,57(\sqrt{h_{\mathrm{B}}}+\sqrt{h_{\mathrm{L}}})$

donde $D_B+D_L$ es en kilómetros y $h_B$ y $h_L$ en metros.

Archivo:HorizonDistance.png

Archivo:Curvatura 2.gif

Barco ocultándose debajo del horizonte debido a la curvatura de la Tierra. El cálculo de la distancia del horizonte permite a marineros estimar sin radar el alcance de un contacto distante entre otras naves.

Si el vigía desea verificar su posición y, como único punto de referencia en su zona de navegación, ve desde el puente de mando del barco la parte superior de un faro. En la carta náutica se podrá ver tanto sea la posición geográfica así como la altura sobre el nivel del mar del faro $h_L$, en este ejemplo de 20 metros. Para calcular la distancia desde el barco al faro, el navegante conoce que la altura desde el nivel del mar al puente de mando donde el se encuentra, $h_B$ es de 6 metros, de allí, y dado que solo ve la parte superior del faro puede concluir que la parte inferior del mismo no la puede ver debido a la curvatura de la Tierra, y puede entonces calcular la distancia al faro $D_{BL}$ de la siguiente manera:

$D_{BL}=3,572(\sqrt{6}+\sqrt{20})$ o sea aproximadamente 25 km.

Como otro ejemplo, supongamos que un observador, cuya altura de sus ojos está a 2 metros del nivel del suelo usa prismáticos para mirar un edificio distante que sabe que consta de treinta pisos, cada uno de 3,5 metros de altura. Cuenta los pisos que puede ver y descubre que solo hay diez. Entonces, veinte pisos o 70 metros del edificio están ocultos para él por la curvatura de la Tierra. A partir de esto, puede calcular su distancia desde el edificio:

$D\approx 3.57(\sqrt{2}+\sqrt{70})$

que llega a unos 35 kilómetros.

Archivo:Horizon, Valencia (Spain).JPG

Una vista del horizonte desde la costa de España. En el que se puede ver la curvatura de la Tierra. Los tanques se encuentran en un muelle de Port de Sagunt (Saggas) a una distancia de unos 20 kilómetros de Valencia.

De manera similar, es posible calcular cuánto de un objeto distante es visible sobre el horizonte. Supongamos que un observador está a 10 metros sobre el nivel del mar y está observando un barco que está a 20 km de distancia. Su horizonte es:

$3.57\sqrt{10}$

kilómetros de él, lo que viene a unos 11,3 kilómetros de distancia. El barco está a 8,7 km más de distancia. La altura de un punto en el barco que es apenas visible para el observador está dada por:

$h\approx {\left(\frac{8.7}{3.57}\right)}^2$

que llega a casi exactamente seis metros. Por lo tanto, el observador puede ver esa parte del barco que está a más de seis metros sobre el nivel del agua. La parte de la nave que está por debajo de esta altura está oculta para él por la curvatura de la Tierra. En esta situación, se dice que el barco está hundido "casco abajo" (hull down en inglés).

Archivo:Biarritz from Hondarribia (1).gif

Vistas de Biarritz desde Fuenterrabía a distintas elevaciones. A menor altura, menor distancia de visión del horizonte, ocultando el faro y la línea costera de la ciudad. A su vez, se aprecia distorsión en el horizonte por la refracción atmosférica.

Para conocer la altura oculta por la curvatura terrestre $H$ desde cualquier distancia respecta a un observador se puede derivar la siguiente aproximación

$H\approx \frac{(D-\sqrt{2Rh}{)}^2}{2R}$

Donde:

• $h$ es la altura del observador;
• $R$ es el radio de la Tierra;
• $D$ es la distancia total desde $h$ a $H$, la cual es aproximada a su distancia del terrestre si $h\ll R$ (véase la sección de abajo).

Es importante recordar que las ecuaciones expresadas en esta sección no tomo en cuenta los efectos de la refracción atmosférica, los cuales permiten aumentar la distancia observable. Para un análisis más detallado véase la sección sobre el horizonte aparente más abajo.

Distancia del arco terrestre

Archivo:GeometricDistanceToHorizon.png

Diagrama que muestra la línea de visión al horizonte, $d$, y el arco de distancia terrestre, $s$, respecto al observador en una altura $h$.

Otra relación implica la distancia ortodrómica de círculo máximo $s$ a lo largo del arco sobre la superficie curva de la Tierra hasta el horizonte; esto es más directamente comparable a la distancia geográfica en un mapa. Del diagrama de la distancia geométrica al horizonte derivada por la fórmula pitagórica de la sección anterior, se puede formular en términos de $\gamma$ en radianes,

$s=R\gamma ;$

entonces

$\cos \gamma =\cos \frac{s}{R}=\frac{R}{R+h}$

Resolviendo para $s$ da

$s=R{\cos }^{-1}\frac{R}{R+h}$

La distancia $s$ también se puede expresar en términos de la distancia de línea de visión $d$; de la segunda figura a la derecha,

$\tan \gamma =\frac{d}{R};$

sustituyendo $\gamma$ y reordenando da

$s=R{\tan }^{-1}\frac{d}{R}.$

Dado que las distancias $d$ y $s$ son casi iguales ($d\approx s$) cuando la altura del objeto es insignificante en comparación con el radio (es decir, $h\ll R$) es común usar la fórmula original de la distancia del horizonte o sus aproximaciones.

Horizonte aparente

Archivo:A Couple In The Sunset (79275873).jpeg

Ocaso sobre el horizonte en Gran Canaria.

Históricamente, la distancia al horizonte aparente ha sido durante mucho tiempo vital para la supervivencia y la navegación exitosa, especialmente en el mar, porque determinaba el rango máximo de visión de un observador y, por lo tanto, de comunicación, con todas las consecuencias obvias para la seguridad y la transmisión de información que este rango implícito. Esta importancia disminuyó con el desarrollo de la radio y el telégrafo, pero aún hoy, cuando se vuela una aeronave bajo las reglas de vuelo visual, se utiliza una técnica llamada altitud de vuelo para controlar la aeronave, en la que el piloto utiliza la relación visual entre el morro de la aeronave y el horizonte para controlar la aeronave. Los pilotos también pueden conservar su orientación espacial con referencia al horizonte.

Efecto de la refracción atmosférica

Archivo:Fata Morgana Boston Light.jpg

Fata Morgana, espejismo que eleva la posición aparente del horizonte causado por la refracción atmosférica.

Si la Tierra fuera un mundo sin aire como la Luna, la luz viajaría horizontalmente y los cálculos anteriores serían precisos. Sin embargo, la Tierra tiene una atmósfera de aire, cuya densidad e índice de refracción varían considerablemente según la temperatura y la presión. Esto hace que el aire refracte la luz en diferentes grados, afectando la apariencia del horizonte. Por lo general, la densidad del aire justo por encima de la superficie de la Tierra es mayor que su densidad a mayores altitudes. Esto hace que su índice de refracción sea mayor cerca de la superficie que más arriba, lo que hace que la luz que viaja aproximadamente horizontalmente sea refractada hacia abajo. Esto hace que la distancia real al horizonte sea mayor que la distancia calculada con fórmulas geométricas. Con condiciones atmosféricas estándares o normalizadas, la diferencia es de aproximadamente el 8%. Esto cambia el factor de 3,57, en las fórmulas métricas usadas arriba, a aproximadamente 3,86. Esta corrección puede ser una aproximación bastante buena en condiciones atmosféricas normalizadas. En cuanto a la refracción, a 0º sobre el horizonte vale unos 34'. Puesto que el diámetro angular del Sol es de unos 32', cuando el disco del Sol toca el mar lo que vemos es su imagen refractada, pues el Sol está sobre nuestro horizonte óptico pero ya por debajo de nuestro horizonte geométrico. La refracción disminuye con la altura sobre el horizonte, al igual que sucedía con la paralaje de altura, anulándose en el cenit.

Cuando las condiciones son inusuales, esta aproximación falla. La refracción es fuertemente afectada por los gradientes de temperatura, que pueden variar considerablemente de un día a otro, especialmente sobre el agua. En casos extremos, por lo general en primavera, cuando el aire caliente supera el agua fría, la refracción puede permitir que la luz siga la superficie de la Tierra durante cientos de kilómetros. Las condiciones opuestas ocurren, por ejemplo, en desiertos, donde la superficie es muy caliente, tan caliente, el aire de baja densidad está por debajo del aire más fresco. Esto hace que la luz sea refractada hacia arriba, causando efectos de espejismo que hacen que el concepto del horizonte no tenga ningún sentido. Los valores calculados para los efectos de la refracción en condiciones inusuales son por lo tanto aproximados. Sin embargo, se han hecho intentos para calcularlas con mayor precisión que la aproximación simple descrita anteriormente.

Fuera del rango de longitud de onda visual, la refracción será diferente. Para el radar (por ejemplo, para longitudes de onda de 300 a 3 mm, es decir, frecuencias entre 1 y 100 GHz), el radio de la Tierra puede multiplicarse por 4/3 para obtener un radio efectivo que dé un factor de 4.12 en la fórmula métrica, es decir, 15% más allá del horizonte geométrico o 7% más allá de lo visual. El factor 4/3 no es exacto, ya que en el caso visual la refracción depende de las condiciones atmosféricas.

Cálculo de la distancia del horizonte aparente refractado

Archivo:Depresión del Horizonte. Cálculo.jpg

Cálculos de la distancia del horizonte aparente refractado y la depresión del horizonte marino.

Por lo general el aire es más denso en la superficie, por lo que desde la altura de un observador, $AM$, la línea de visión tangente a la Tierra del horizonte verdadero, $AT$, se curva formando un arco, $AB$, el horizonte aparente debido a la refracción de la atmósfera, que dobla los rayos de luz hacia abajo en un arco con un radio mayor que el de la Tierra. En consecuencia el horizonte aparente (refractado), $AB$, está más alejado que el horizonte verdadero $AT$, lo que permite ver objetos que estarían ocultos por la curvatura de la Tierra.

Es común en topografía y geodesia que si la altura del observador $AM$ es menor de 8 km, inferior a la troposfera, se suponga una atmósfera homogénea en la que el rayo curvo es el arco de un círculo para facilitar los cálculos. Este rayo de luz visible refractado $AB$ como un arco de un círculo equivale al radio de la Tierra entre el "índice de refracción" atmosférico $k$ (es decir, $R/k$).

Luego, para simplificar los cálculos, se puede considerar en su lugar como que el radio de la Tierra hubiera "aumentado" con respecto al índice de refracción, lo que permite mantener la fórmula de la sección anterior. El radio de esta Tierra "refractada" $R^{\prime }$ se obtiene restando la curvatura del rayo refractado ($R/k$) de la curvatura terrestre ($1/R$), que es igual a la fracción del radio de la Tierra entre uno menos el índice de refracción:

$R^{\prime }=\frac{R}{1-k}$

Se denomina como "constante de refracción" la relación del radio terrestre $R$ con el radio de la luz refractada $R^{\prime }$. En una "refracción estándar" a nivel del mar, donde $k=$ 0.17, el $R^{\prime }$ es 7681 km. Se suele asumir generalmente una constante de refracción k de 1/7, donde el radio de la Tierra refractado, $R^{\prime }$, es 7 veces el radio de la Tierra real, $R$. Aproximadamente $R^{\prime }=R\times 7/6$, que es 7433 km. Entonces mediante la ecuación anterior de la distancia exacta del horizonte se obtiene que:

$D_{\mathrm{H}}=\sqrt{(R^{\prime }+H_O{)}^2-R{\text{'}}^2}$, donde:

• $D_{\mathrm{H}}=$ distancia de la línea de visión al horizonte
• $H_O=$ altura del ojo del observador medida desde la superficie del globo
• $R^{\prime }=$ radio de la tierra (6371 km sin refracción; 7681 km o 7433 km para refracción estándar)

Método Sweer de integración

John Sweer (1938) calculó que si la densidad del perfil de las atmósferas es conocida, la distancia d del horizonte está dada por

$d=R_{\text{E}}(\psi +\delta ),$

donde $R_E$ es el radio de la Tierra, $\psi$ es la inmersión del horizonte y $\delta$ es la refracción del horizonte. La inmersión es determinada de forma simple mediante

$\cos \psi =\frac{R_{\text{E}}{\mu }_0}{(R_{\text{E}}+h)\mu },$

donde h es la altura sobre la Tierra del observador, $\mu$ es el índice de refracción del aire a la altura del observador, y ${\mu }_0$ es el índice de refracción a la altura de la superficie de la Tierra.

La refracción debe ser encontrada mediante la integración de

$\delta =-{\int }_0^h\tan \varphi \frac{\text{d}\mu }{\mu },$

donde $\varphi$ es el ángulo entre el rayo y una línea a través del centro de la Tierra. Los ángulos $\psi$ y $\varphi$ están relacionados mediante $\varphi =90{}^{\circ }-\psi .$

Método simple de Young

Un enfoque mucho más simple por Andrew T. Young (2013), que provee esencialmente los mismos resultados que la aproximación de primer orden presentada arriba, utiliza el modelo geométrico pero utiliza un radio de $R^{\prime }=R\times 7/6$. La distancia al horizonte es entonces

$d=\sqrt{2R^{\prime }h}.$

Tomando el radio de la Tierra como 6371 km, con d en kilómetros y h en metros,

$d\approx 3.86\sqrt{h};$

con d en millas y h en pies,

$d\approx 1.32\sqrt{h}.$

Los resultados del método de Young son bastante cercanos a los del método de Sweer, y son suficientemente exactos para la mayoría de los propósitos.

Aproximación de R. Langton Cole

Para unidades inglesas existe una vieja regla data por R. Langton Cole (1913), donde:

$d\text{ (en millas)}=\sqrt{7\times h\text{ (en pies)}/4}$

Horizonte astronómico

Archivo:Observers Horizon.svg

Diagrama del horizonte astronómico.

En astronomía, el horizonte se define según el punto de origen del plano de referencia. Este plano es el origen y el plano fundamental del sistema de coordenadas horizontales, siendo el lugar geométrico de los puntos que tienen una altitud de exactamente cero grados. En este contexto un horizonte puede considerarse como un plano en el espacio, en lugar de una línea de visión en un plano de imagen.

El horizonte astronómico o celeste es el plano paralelo que pasa por el centro de la Tierra. Es un plano fundamental para algunas coordenadas celestes, por lo que de su correcto establecimiento depende la precisión de las medidas logradas. Tal es el caso de las coordenadas horizontales geocéntricas, en las que hay que tomar alturas sobre el horizonte de un objeto astronómico como una estrella o un planeta.

Archivo:On-Top-Of-The-World Mountain.jpg

El horizonte sensible o topocéntrico es el plano horizontal perpendicular a la dirección de la gravedad (la línea de la plomada) que pasa exactamente a través de los ojos del observador.

Las medidas realizadas in situ son en principio referidas al horizonte sensible —o topocéntrico—, que es el plano horizontal perpendicular a la vertical en cada punto de la superficie terrestre (la dirección de la gravedad o de la línea de la plomada), que pasa exactamente a través de los ojos del observador, cuya intersección con la esfera celeste son el de cenit y nadir. Estas medidas obtenidas para la altura referida al horizonte astronómico deben corregirse debido a la refracción atmosférica (que eleva ópticamente los astros) y el paralaje geocéntrico —o de altura— que disminuye con la altura sobre el horizonte, hasta hacerse nula en el cenit. Su corrección, para medidas de precisión, exige considerar a la Tierra como un elipsoide y no como una esfera (realmente es un geoide), tomándose el valor del radio terrestre en el punto de observación —no el radio medio—, amén de la altura sobre el suelo. La diferencia entre el radio geométrico y la vertical real se conoce como desviación de la vertical. Para estrellas muy lejanas la paralaje de altura puede no ser significativa. Sin embargo, para objetos cercanos (como la Luna o los planetas), esa diferencia de altura genera un error de perspectiva llamado paralaje horizontal.

El horizonte astronómico se encuentra por encima del horizonte terrestre (o marino) aparente, coincidiendo aproximadamente cuanto más cerca se esté del nivel del mar. En consecuencia, cuando el observador está elevado, el ángulo cenital del horizonte puede ser superior a 90°. La diferencia entre el horizonte astronómico y el horizonte aparente se denomina como depresión del horizonte y es un factor muy importante en la navegación astronómica.

Depresión del horizonte

Archivo:Abu Reyhan Biruni-Earth Circumference.svg

La depresión del horizonte $\alpha$ es el ángulo entre el horizonte verdadero y la horizontal del observador (horizonte astronómico).

En navegación, se denomina como depresión del horizonte al ángulo entre el horizonte verdadero $AB$ (depresión verdadera, $D_V$); o del horizonte aparente $A{H}^{\prime }$ (depresión aparente, $D_A$) con respecto a la vertical del observador, es decir, al horizonte astronómico $AH$ (véase diagrama de la sección anterior).

Este es un factor muy importante en topografía, agrimensura, geodesia y en la navegación astronómica para calcular la posición de objetos astronómicos como estrellas mediante instrumentos de navegación como el astrolabio o sextante. La depresión de horizonte debe restarse siempre de la altura del astro sobre el horizonte de la mar, para obtener la altura sobre el horizonte astronómico.

El físico medieval persa Al-Biruni (973-1048) cálculo el radio terrestre en 6,339.9 km (tan solo 16.8 km menos que el valor moderno de 6,356.7 km) mediante el ángulo $\alpha$ de la depresión del horizonte sobre la cima de una montaña de altura conocida, donde:

$r=h\cdot \cos (\alpha )/(1-\cos (\alpha ))$

Depresión verdadera

Archivo:HomogSphElevObsZmax.png

Ángulo cenital máximo para observador elevado en atmósfera esférica homogénea.

Para determinar el ángulo de la depresión verdadera (sin refracción atmosférica), $D_V$, se requiere la fórmula trigonométrica del coseno, donde el cateto adyacente es el radio de la Tierra y la hipotenusa es el radio más la elevación del ojo del observador. Entonces:

$D_V=\cos \gamma =\frac{R}{R+h}$

dónde $h$ es la altura del observador sobre la superficie y $\gamma$ es la depresión angular del horizonte. Esta a su vez está relacionada con el ángulo cenital máximo visible $Z_{max}$, el cual:

$Z_{max}=\gamma +90{}^{\circ }$

Para una altura no negativa $h$, el ángulo $z$ es siempre ≥ 90°.

De igual manera se deriva ese mismo ángulo de la la fórmula trigonométrica del seno, donde el cateto opuesto a dicho ángulo es la distancia del horizonte y la hipotenusa es el radio más la elevación del ojo del observador. Luego:

$D_V=\sin \gamma =\frac{d}{R+h}$

Dado la fórmula anterior se observa la depresión de horizonte es proporcionalmente directa de la elevación del ojo del observador. Así, por ejemplo, el ángulo de la depresión del horizonte para una persona a 10 metros sobre el nivel del mar es de 6' 5" (0,1015º), a 100 metros es de 19' 15'' (0,3210º) y a 1000 metros 1º 0' 54'' (1,0151º).

Aproximación de la depresión verdadera

Archivo:'Twenty Thousand Leagues Under the Sea' by Neuville and Riou 027 (2).jpg

El sextante, un instrumento de navegación astronómica que mide la posición de los astros. Para ello debe restársele el al ángulo de la depresión del horizonte.

Dado estos pequeños ángulos de depresión a alturas cercanas del nivel del mar las fórmulas anteriores pueden simplificarse con la siguiente aproximación asumiendo que la altura es menor que el radio terrestre:

$D_V\text{ en radianes}\approx \sqrt{\frac{2h}{R}}$

Asumiendo el radio terrestre como unos 6.367,465 km se deriva:

$D_V\text{ en radianes}\approx \sqrt{\frac{2}{R}}\cdot \sqrt{h}\approx \sqrt{\frac{2}{6367.465}}\cdot \sqrt{h}\approx 0,00056061\sqrt{h}$

Dicha fórmula sustituida por valores métricos, en segundos, se obtiene la siguiente aproximación:

$D_V\text{ en segundos}\approx 115,60\sqrt{h}$

Depresión aparente

Dado que la refracción atmosférica puede aumentar la distancia de horizonte visible entonces a su vez reduce el ángulo de depresión del horizonte. En consecuencia, para determinar el ángulo de la depresión aparente, $D_A$, se debe restar el índice de refracción $k$ a la depresión verdadera $D_V$. Luego:

$D_A=D_V-k{D}_V=D_V(1-k)$

En The American Practical Navigation de Nathaniel Bowditch (1995; pp. 340-341) se emplea la siguiente fórmula a emplear para la corrección de depresión sobre un horizonte de agua cercano (como embalses, lagos u orillas). Esta es:

$D_A\text{ (en minutos)}=60\arctan (\frac{h\text{ (en pies)}}{6076.1\cdot d\text{ (en millas náuticas)}}+\frac{d\text{ (en millas náuticas)}}{8268})$

Expresando $h$ y $d$ en valores métricos:

$D_A=60\arctan (\frac{h}{1852\cdot d}+\frac{d}{8268})$

Aproximación de la depresión aparente

Asumiendo el coeficiente de refracción medio utilizado en España ($k$ = 0,08) entonces: $D_A=D_V-0.92$. Si tomamos la constante de la aproximación anterior (115,60) y la multiplicamos por este factor de refracción atmosférica:

$D_A\text{ en segundos}\approx 106,31\sqrt{h}$

Línea del horizonte

Archivo:Perspektiva jednobodova ulice.JPG

Los dibujos en perspectiva tienen una línea análoga al horizonte donde las líneas paralelas convergen en un punto de fuga.

Archivo:TwoPointPerspective.png

Dos puntos en el horizonte están en las intersecciones de las líneas que extienden los segmentos que representan los bordes del edificio en primer plano. La línea del horizonte coincide aquí con la línea en la parte superior de las puertas y ventanas.

Archivo:Horizonte gráfico vs Horizonte visible.png

Diferencias entre el horizonte visible con la línea del horizonte.

La línea del horizonte es una característica clave del plano pictórico en la ciencia de la perspectiva gráfica. Suponiendo que el plano de la imagen está vertical al suelo y que P es la proyección perpendicular del punto del ojo O en el plano de la imagen, el horizonte se define como la línea horizontal que pasa por P. El punto P es el punto de fuga de las líneas perpendiculares a la imagen. Si S es otro punto en el horizonte, entonces es el punto de fuga de todas las líneas paralelas a OS. Pero Brook Taylor (1719) indicó que el plano del horizonte determinado por O y el horizonte era como cualquier otro plano:

El término de Línea Horizontal, por ejemplo, es apto para confinar las Nociones de un Aprendiz al Plano del Horizonte, y hacerle imaginar que ese Plano disfruta de algunos Privilegios particulares, que hacen que las Figuras en él sean más fáciles y más convenientes. ser descrito, por medio de esa Línea Horizontal, que las Figuras en cualquier otro plano;... Pero en este Libro no hago diferencia entre el Plano del Horizonte, y cualquier otro Plano cualquiera...

La peculiar geometría de la perspectiva donde las líneas paralelas convergen en la distancia, estimuló el desarrollo de la geometría proyectiva que postula un punto en el infinito donde las líneas paralelas se encuentran. En su libro Geometry of an Art (2007), Kirsti Andersen describió la evolución del dibujo en perspectiva y la ciencia hasta 1800, señalando que los puntos de fuga no tienen por qué estar en el horizonte. En un capítulo titulado "Horizonte", John Stillwell contó cómo la geometría proyectiva ha llevado a la geometría de incidencia, el estudio abstracto moderno de la intersección de líneas. Stillwell también se aventuró en los fundamentos de las matemáticas en una sección titulada "¿Cuáles son las leyes del álgebra?" El "álgebra de puntos", propuesta originalmente por Karl von Staudt que derivaba los axiomas de un campo, fue deconstruida en el siglo XX, dando lugar a una amplia variedad de posibilidades matemáticas. Stillwell afirma

Este descubrimiento de hace 100 años parece capaz de dar la vuelta a las matemáticas, aunque aún no ha sido absorbido por completo por la comunidad matemática. No solo desafía la tendencia de convertir la geometría en álgebra, sino que sugiere que tanto la geometría como el álgebra tienen una base más simple de lo que se pensaba anteriormente.

Dado que la línea del horizonte geométrica es una línea imaginaria sobre un plano infinito perfectamente plano esta se encuentra por debajo del horizonte verdadero que asume una superficie esférica de la Tierra. Para los observadores cerca del nivel del mar, la diferencia entre es imperceptible a simple vista. Sin embargo, para alguien en una colina de 1000 m (3300 pies) mirando al mar, el horizonte verdadero estará aproximadamente un grado por debajo de una línea del horizonte.

Curvatura del horizonte

En muchos contextos, especialmente en el dibujo de perspectiva, la curvatura de la Tierra no se tiene en cuenta y el horizonte se considera la línea teórica a la que convergen los puntos de cualquier plano horizontal (cuando se proyecta sobre el plano de la imagen) a medida que aumenta su distancia del observador.

Archivo:A colorful view of airglow layers at Earth's horizon.jpg

La curvatura del horizonte se ve fácilmente en esta fotografía de 2008, tomada desde un transbordador espacial a una altitud de 226 km (140 mi).

Desde un punto por encima de la superficie de la Tierra, el horizonte parece ligeramente convexo; es un arco circular. La siguiente fórmula expresa la relación geométrica básica entre esta curvatura visual, la altitud, y el radio de la Tierra:

$\kappa =\sqrt{{(1+\frac{h}{R})}^2-1}$

La curvatura es el recíproco del radio angular de la curvatura en radianes. Una curvatura de 1,0 aparece como un círculo de un radio angular de 57,3° correspondiente a una altitud de aproximadamente 2640 km (1640 millas) sobre la superficie de la Tierra. A una altitud de 10 km (6,2 millas; 33 000 pies), la altitud de crucero de un avión típico, la curvatura matemática del horizonte es de aproximadamente 0,056, la misma curvatura del borde del círculo con un radio de 10 m que se ve desde 56 cm directamente sobre el centro del círculo. Sin embargo, la curvatura aparente es menor que la debida a la refracción de la luz por la atmósfera y el oscurecimiento del horizonte por las altas capas de nubes que reducen la altitud sobre la superficie visual.

Véase también

• Cenit
• Nadir
• Acimut
• Tierra esférica
• Horizonte artificial

Enlaces externos

• Distance to the Horizon
• Horizon and Refraction explained
• Descripción del término horizonte en Diccionarios.com
• Young, Andrew T. «Dip of the Horizon». Green Flash website (Sections: Astronomical Refraction, Horizon Grouping) (San Diego State University Department of Astronomy). Consultado el 16 de abril de 2011. 

Calculadoras del horizonte y curvatura de la Tierra en linea

• Distance of the Horizon/ Geographic Range Home Page
• «Earth Curvature Calculator - Calculate the curve you should see». earthcurvature.com. 
• «Earth Curvature Calculator». www.omnicalculator.com. 
• «Earth Curve Calculator». dizzib.github.io. 
• «Earth Curvature Calculator - Calculate the curve you should see». earthcurvature.com. 
• u/darkstarq. «Horizon Calculator». GeoGebra. 
• «Metabunk: Earth's Curve Horizon, Bulge, Drop, and Hidden Calculator». Metabunk. 
• «Finding the Curvature of the Earth: Stand-Alone App». walter.bislins.ch. 

A partir de la tercera se toma en cuenta la altura del observador. Las dos últimas también toman la refracción atmosférica como factor.