Forma de conservación

La forma de conservación o forma euleriana se refiere a una formulación de una ecuación o un sistema de ecuaciones, que suele representar un sistema hiperbólico, y que destaca que la propiedad representada se conserva; es decir, un tipo de ecuación de continuidad. El término se utiliza habitualmente en el contexto de la mecánica de medios continuos.

Forma general

Las ecuaciones en forma de conservación adoptan la forma $$\frac{\partial \xi }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐟(\xi )=0$$ para cualquier cantidad conservada $\xi$, con una función adecuada $𝐟$. Una ecuación de esta forma puede transformarse en una ecuación integral $$\frac{d}{dt}{\int }_V\xi dV=-{\oint }_{\partial V}𝐟(\xi )\cdot \widehat{𝐧}dS$$ utilizando el teorema de la divergencia. La ecuación integral establece que la tasa de variación de la integral de la cantidad $\xi$ sobre un volumen de control arbitrario $V$ viene dada por el flujo $𝐟(\xi )$ a través de la frontera del volumen de control, siendo $\widehat{𝐧}$ la normal a la superficie exterior a través de la frontera. $\xi$ no se produce ni se consume dentro de $V$ y, por lo tanto, se conserva. Una elección típica para $𝐟$ es $𝐟(\xi )=\xi 𝐮$, con velocidad $𝐮$, lo que significa que la cantidad $\xi$ fluye con un campo de velocidad dado.

La forma integral de tales ecuaciones suele ser la formulación físicamente más natural, y la ecuación diferencial surge de la derivación. Dado que la ecuación integral también puede tener soluciones no diferenciables, la igualdad entre ambas formulaciones puede romperse en algunos casos, lo que conduce a soluciones débiles y a graves dificultades numéricas en las simulaciones de tales ecuaciones.

Ejemplo

Un ejemplo de un sistema de ecuaciones escrito en forma de conservación son las ecuaciones de Euler del flujo de fluidos: $$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐮)=0$$ $$\frac{\partial \rho 𝐮}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐮\otimes 𝐮+p𝐈)=0$$ $$\frac{\partial E}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (𝐮(E+pV))=0$$

Cada una de ellas representa la conservación de la masa, el impulso y la energía, respectivamente.

Véase también

• Leyes de conservación (física)
• Especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo

Referencias

• Toro, E.F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8. 
• Randall J. LeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-00924-3 (Cambridge Texts in Applied Mathematics).