Desigualdad triangular

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Desigualdad del triángulo.

La desigualdad triangular es un teorema de geometría euclidiana que establece:

En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante.

Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

$a<(b+c),b<(a+c),c<(a+b)$

donde a, b y c son los lados.

Espacios vectoriales normados

El teorema se pide como axioma para definir los espacios vectoriales normados (espacios vectoriales donde hay una norma $\Vert \cdot \Vert$ definida), resultando en la siguiente versión de la desigualdad triangular:

En todo espacio vectorial normado $V,\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\Vert \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\Vert \le \Vert \overrightarrow{x}\Vert +\Vert \overrightarrow{y}\Vert$

En particular, la recta real es un espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma. Entre otras condiciones, se satisface la desigualdad triangular:

Para cualesquiera dos números a y b se cumple: $|a+b|\le |a|+|b|$

cuya demostración es:

Demostración

(Ámbito → ℝ). Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

$-|a|\le a\le |a|$

$-|b|\le b\le |b|$

Sumando ambas inecuaciones:

$-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto $|c|\le d$ si y solo si $-d\le c\le d$ en la línea de arriba queda:

$|a+b|\le |a|+|b|$

Generalización de la desigualdad triangular para cualquier número de sumandos

La desigualdad triangular puede generalizarse a un número arbitrario de sumandos:

$|x_1+x_2+\cdots +x_n|\le |x_1|+|x_2|+\cdots +|x_n|$,

es decir:

$\left|\sum _{i=1}^n{x}_i\right|\le \sum _{i=1}^n|x_i|.$

donde n es un número natural, y los $x_i$ son números reales.

Demostración

La demostración es un ejemplo clásico de prueba por inducción matemática. Como casos iniciales observamos que para n=1: $|x_1|\le |x_1|$ puesto que el símbolo $\le$ es una disyunción lógica (menor o igual) que contempla ya el caso de igualdad Cuando n=2, obtenemos la desigualdad triangular clásica $|x_1+x_2|\le |x_1|+|x_2|$ Supongamos ahora que la condición se ha verificado hasta un cierto valor k de n. Esto es, asumimos que se ha verificado $\left|\sum _{i=1}^k{x}_i\right|\le \sum _{i=1}^k|x_i|.$ Queda por demostrar que la afirmación es cierta también para el siguiente valor, k+1. Partimos de la siguiente expresión: $\left|\sum _{i=1}^{k+1}{x}_i\right|=|\sum _{i=1}^k{x}_i+x_{k+1}|$ y observando que $\sum _{i=1}^k{x}_i$ es un número real y $x_{k+1}$ es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para dos sumandos: $|\sum _{i=1}^k{x}_i+x_{k+1}|\le \left|\sum _{i=1}^k{x}_i\right|+|x_{k+1}|$ Aplicamos ahora la afirmación para n=k sumandos $\left|\sum _{i=1}^k{x}_i\right|\le \sum _{i=1}^k|x_i|.$ la cual habíamos supuesto como cierta y la sustituimos para obtener $|\sum _{i=1}^k{x}_i+x_{k+1}|\le \sum _{i=1}^k|x_i|+|x_{k+1}|.$ Sin embargo, esta última expresión es precisamente $\sum _{i=1}^{k+1}|x_i|.$ de manera que hemos demostrado $\left|\sum _{i=1}^{k+1}{x}_i\right|\le \sum _{i=1}^{k+1}|x_i|.$ y por medio de inducción matemática, el resultado queda establecido para cualquier valor de n.

Desigualdad de Minkowski

La desigualdad triangular puede generalizarse aún más para integrales (Riemann, Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes, etc):

$|{\int }_{A}f(x)\text{d}\mu (x)|\le {\int }_A|f(x)|\text{d}\mu (x)$

así como también para espacios L^p. Sea S un espacio medible, sea 1 ≤ p ≤ ∞ y sea f y g elementos de L^p(S). Entonces f + g es de L^p(S), y se tiene

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

con la igualdad para el caso1 < p < ∞ si y sólo si f y g son positivamente linealmente dependientes (que significa que f = λg o g = λf para algún λ ≥ 0).

Esta desigualdad se llama desigualdad de Minkowski y está demostrada en su propio artículo. Igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especificar para sucesiones y vectores haciendo:

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{1/p}$

para todos los números reales (o complejos) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n y donde n es el cardinal de S (el número de elementos de S).

Véase también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Bibliografía

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4