Conúcleo

El conúcleo (también denominado cokernel) de una aplicación lineal sobre un espacio vectorial f : X → Y es el espacio cociente Y / im(f) del codominio de f por la imagen de f. La dimensión del conúcleo se denomina corango de f.

Los conúcleos (cokerneles) son duales de los núcleos (kerneles) en teoría de categorías, de ahí su nombre: el núcleo es un subobjeto del dominio (se aplica desde el dominio), mientras que el cokernel es un objeto cociente del codominio (se aplica desde el codominio).

Intuitivamente, dada una ecuación f(x)= y que se busca resolver, el conúcleo mide las restricciones que y debe satisfacer para que esta ecuación tenga solución (las restricciones de la solución), mientras que el núcleo mide los grados de libertad de una solución, si existe. Este concepto intuitivo se explica con mayor detalle más adelante.

De forma más general, el conúcleo de un morfismo f : X → Y en alguna categoría (por ejemplo, un homomorfismo entre grupos o un operador lineal acotado entre espacios de Hilbert) es un objeto Q y un morfismo q : Y → Q tales que la composición q f es el morfismo cero de la categoría, y además q es universal con respecto a esta propiedad. A menudo se sobrentiende la aplicación q, y Q se denomina el conúcleo de f.

En muchas situaciones en álgebra abstracta, como para un grupo abeliano, espacio vectorial o módulo, el conúcleo del homomorfismo f : X → Y es el cociente de Y por la imagen de f. En contextos topológicos, como con operadores lineales acotados entre espacios de Hilbert, normalmente hay que tomar la clausura de la imagen antes de pasar al cociente.

Definición formal

Se puede definir el conúcleo en el marco general de la teoría de categorías. Para que la definición tenga sentido, la categoría en cuestión debe tener morfismo cero. El conúcleo de un morfismo f : X → Y se define como el coequalizador de f y el morfismo cero 0_XY : X → Y.

Explícitamente, esto significa lo siguiente: el conúcleo de f : X → Y es un objeto Q junto con un morfismo q : Y → Q tal que el diagrama

Archivo:Cokernel-01.svg

es commutativo. Además, el morfismo q debe ser universal para este diagrama; es decir, cualquier otro q′ : Y → Q′ de este tipo se puede obtener componiendo q con un único morfismo u : Q → Q′:

Archivo:Cokernel-02.png

Como en todas las construcciones universales, el conúcleo, si existe, es único salvo un único isomorfismo, o más precisamente: si q : Y → Q y q′ : Y → Q′ son dos conúcleos de f : X → Y, entonces existe un único isomorfismo u : Q → Q′ con q'= u q.

Como todos los coecualizadores, el conúcleo q : Y → Q es necesariamente un epimorfismo. A la inversa, un epimorfismo se denomina normal (o conormal) si es el conúcleo de algún morfismo. Una categoría se denomina conormal si todo epimorfismo es normal (por ejemplo, la categoría de grupos es conormal).

Ejemplos

En la categoría de grupos, el conúcleo de un homomorfismo de grupos f : G → H es el cociente de H por la clausura normal de la imagen de f. En el caso de los grupos abelianos, dado que todo subgrupo es normal, el conúcleo es simplemente el H módulo de la imagen de f:

$\mathrm{coker}(f)=H/\mathrm{im}(f).$

Casos especiales

En una categoría preaditiva, tiene sentido sumar y restar morfismos. En dicha categoría, el coecualizador de dos morfismos f y g (si existe) es simplemente el conúcleo de su diferencia:

$\mathrm{coeq}(f,g)=\mathrm{coker}(g-f).$

En una categoría abeliana (un tipo especial de categoría preaditiva), la imagen y la coimagen de un morfismo f vienen dadas por:

$\begin{array}{cc}\mathrm{im}(f)& =\ker (\mathrm{coker}f),\\ \mathrm{coim}(f)& =\mathrm{coker}(\ker f).\end{array}$

En particular, toda categoría abeliana es normal (y también conormal). Es decir, todo monomorfismo m puede escribirse como el núcleo de algún morfismo. Específicamente, m es el núcleo de su propio conúcleo:

$m=\ker (\mathrm{coker}(m))$

Concepto intuitivo

El conúcleo puede entenderse como el espacio de restricciones que debe satisfacer una ecuación, como el espacio de obstáculos, del mismo modo que el kernel es el espacio de las soluciones.

Formalmente, se pueden conectar el núcleo y el conúcleo de una aplicación T: V → W mediante una sucesión exacta:

$0\to \ker T\to V\stackrel{T}{⟶}W\to \mathrm{coker}T\to 0.$

Esto se pueden interpretar así: dada una ecuación lineal T(v)= w a resolver,

• El núcleo es el espacio de soluciones de la ecuación homogénea T(v)= 0, y su dimensión es el número de grados de libertad en las soluciones de T(v)= w, si existen;

• El conúcleo es el espacio de restricciones sobre w que deben satisfacerse para que la ecuación tenga solución, y su dimensión es el número de restricciones independientes que deben satisfacerse para que la ecuación tenga solución.

La dimensión del conúcleo más la dimensión de la imagen (el rango) suman la dimensión del espacio objetivo, ya que la dimensión del espacio cociente W / T(V) es simplemente la dimensión del espacio menos la dimensión de la imagen.

Como ejemplo sencillo, considérese la aplicación T: R² → R², dada por T(x, y)= (0, y). Para que una ecuación T(x, y)= (a, b) tenga solución, se debe tener a= 0 (una restricción), y en ese caso el espacio de soluciones es (x, b), o equivalentemente, (0, b) + (x, 0) (un grado de libertad). El núcleo puede expresarse como el subespacio (x, 0) ⊆ V: el valor de x representa la libertad en una solución. El conúcleo puede expresarse mediante la aplicación de valores reales W: (a, b) → (a): dado un vector (a, b), el valor de a representa la obstrucción a la existencia de una solución.

Además, el conúcleo puede considerarse como algo que detecta una función sobreyectiva, de la misma manera que el núcleo detecta una función inyectiva. Una aplicación es inyectiva si y solo si su núcleo es trivial, y una aplicación es sobreyectiva si y solo si su conúcleo es trivial, o dicho de otro modo, si W= im(T).

Bibliografía

• Saunders Mac Lane: «Categories for the Working Mathematician», Segunda edición, 1978, pág. 64
• Emily Riehl: Teoría de categorías en contexto, Aurora Modern Math Originals, 2014, pág. 82, pág. 139, nota al pie 8.