Cambio de variable

Un cambio de variable es una técnica empleada en matemática para resolver algunas ecuaciones o sistemas de ecuaciones de grado superior a uno, que de otra forma sería más complejo resolver. Mediante este sistema se da paso a una ecuación equivalente, y, una vez resuelta, se deshace el cambio para obtener el valor de la incógnita inicial. Se emplea en los siguientes casos:

• Ecuaciones bicuadradas
• Ecuaciones y sistemas exponenciales
• Ecuaciones de tercer grado
• Ecuaciones de cuarto grado

Ejemplo: resolución de una ecuación exponencial mediante cambio de variable:

Existen tres tipos de ecuaciones exponenciales; en el segundo caso pueden reducirse a una de segundo grado. Es el caso de $9^x-7\cdot 3^x-18=0$. Se siguen los siguientes pasos:

• Se factoriza 9 en 3² para que tenga la misma base que 7 · 3^x:

$3^{2x}-7\cdot 3^x-18=0$

• Se realiza el cambio de variable 3^x = z, por lo que 3^2x = z², y se tiene:

$z^2-7z-18=0\to z=\frac{7\pm \sqrt{49+72}}{2}=\frac{7\pm 11}{2}\to z_1=9;z_2=-2$

• Se deshace el cambio de variable:

$3^x=9\to 3^x=3^2\to x=2$

La única solución es x = 2, ya que las potencias de 3 siempre son positivas, por lo que 3^x = - 2 no puede cumplirse.

Véase también

• Integración por cambio de variable

• Regla de la cadena

• Instanciación universal

• Axiomas de la igualdad