Base natural

En geometría diferencial, una base natural es un tipo base vectorial del espacio tangente a una variedad diferenciable que puede ser asociada naturalmente a un sistema de coordenadas curvilíneo.

Definición de base natural

Dada una variedad diferenciable $ℳ$ de dimensión n y un conjunto de n campos vectoriales $V_1,\mathrm{...},V_n\in Tℳ$ definidos sobre un conjunto abierto A esa variedad tales que en cada punto forman una base vectorial del espacio tangente a la variedad, es una base natural si y sólo si existe una carta local o sistema de coordenadas local $\phi :A\subset ℳ\to {ℝ}^n\wedge \phi (P)\mapsto (x_1(P),\mathrm{...},x_n(P))$ que cumpla alguna de las siguientes condiciones:

1. Los campos vectoriales coinciden con las derivadas a lo largo de las curvas coordenadas asociadas a las coordenadas locales: ${V_i|}_P={\left({\partial }_{x_i}\right)}_P$.
2. La base dual asociada a los n campos vectoriales en cada punto, está formada por 1-formas exactas, es decir, existen ${\theta }^1,\mathrm{...},{\theta }^n\in T^{\ast }ℳ$ y una carta local, como la descrita anteriormente, tal que ${\theta }^i(V_j)={\delta }_j^i$ y ${\theta }^i=d{x}^i$.

Geometría euclídea

Siendo $\overrightarrow{r}(x_i)$ el conjunto de puntos de la variedad diferenciable encajada en un espacio eunclíde, en esta variedad se puede tratar mediante coordenadas generalizadas $x_i$. La base natural o base del espacio tangente a la variedad queda descrita por medio de las derivadas parciales de la variedad respecto de las coordenadas generalizadas.

$\overrightarrow{t_i}=\frac{\delta \overrightarrow{r}}{\delta x_i}$