Edición de «Submatriz»

En matemáticas, una submatriz es una matriz formada por la selección de ciertas filas y columnas de una matriz más grande. También podemos definirla como un arreglo rectangular que se encuentra en subconjuntos específicos de las filas y columnas de la matriz dada. 

== Definición ==
Sea <math>
  A
</math> una [[Matriz (matemática)|matriz]]  <math>
  n\times m 
</math> y sean <math>
  I_A = \{ 1, 2, ..., n\} 
</math>  y  <math>
 J_A = \{ 1, 2, ..., m \}
</math> los conjuntos de índices de las filas y columnas de <math>
  A
</math> respectivamente. Definimos <math>
  B
</math> una submatriz de <math>
  A
</math> como la matriz resultante de escoger  <math>
I_B \subseteq I_A
</math> y <math>
  J_B \subseteq J_A
</math>, donde <math>
  I_B 
</math> y <math>
  J_B 
</math> serán los índices de las filas y columnas de la matriz <math>
  B
</math>.  Es decir, las filas y columnas de <math>
  B
</math> corresponden a las filas y columnas  de <math>
  A
</math> con los índices en <math>
  I_B
</math> y <math>
  J_B 
</math> respectivamente.<ref name=":0">{{Cita libro|edición=2nd ed|título=Matrix analysis|url=https://www.worldcat.org/oclc/817236655|editorial=Cambridge University Press|fecha=2012|fechaacceso=6 de noviembre de 2019|isbn=9781139776004|oclc=817236655|apellidos=Horn, Roger A.}}</ref>

Por ejemplo:

<br />

:<math>
  \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ 
    a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}
  \end{bmatrix}
</math>
:

En este caso <math>
  I_A = \{ 1, 2, 3\} 
</math> y <math>
  J_A = \{ 1, 2, 3,4 \} 
</math>, si escogemos <math>
  I_B = \{ 1,2 \}
</math> y  <math>
  J_B = \{ 1,3,4 \}
</math> obtenemos:

<br />

:<math>
  \mathbf{B}=\begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ 
    a_{21} & a_{23} & a_{24} 
  \end{bmatrix}
</math>
:

En este ejemplo si queremos referirnos a la submatriz <math>B</math> sin necesidad de definirla entrada por entrada, usamos la siguiente notación, <math>B = A [\{1,2\};\{1,3,4\}]</math>. De manera general decimos que <math>A[I_B ; J_B]</math> es la submatriz resultante de escoger <math>
  I_B
</math> y <math>
J_B
</math> como conjunto de índices de las filas y columnas de la submatriz.

== Submatriz principal ==

Una submatriz es principal cuando se escoge <math>I_B = J_B</math>, es decir los conjuntos de índices de las filas y columnas son iguales. Para facilitar la notación se escribe <math>A[I_B ; I_B] = A[I_B]</math>. 

Por ejemplo:

<math>
  \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ 
    a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}
  \end{bmatrix}
</math>  

Tomando <math>I_B = \{ 2,3 \}</math>.

<math>
  \mathbf{A }[\{2,3\}]=\begin{bmatrix} 
    a_{22} & a_{23} \\
    a_{32} & a_{33}
  \end{bmatrix}
</math>


<math>
  A[\{2,3 \}]
</math> es una submatriz principal de <math>
  A
</math>.

=== Submatriz principal superior ===
Sea <math>
  A
</math> una matriz cuadrada de orden <math>
  n
</math> y <math>
I_A = \{ 1,\dots , n \}
</math> el conjunto de índices de <math>
  A
</math>, si tomamos <math>
  k \in I_A
</math>, la matriz principal <math>
  A[\{1,\dots ,k\}]
</math> es una submatriz principal superior de <math>
  A
</math>.<ref name=":0" />



<math>
  \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ 
    a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
    a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
  \end{bmatrix}
</math> 


Tomando <math>
  k = 3
</math>:  

<math>
  \mathbf{A}[\{ 1,2,3 \} ]=\begin{bmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
    a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33}
  \end{bmatrix}
</math> 


<math>
  A[\{1,2,3\}]
</math> es una submatriz principal superior de <math>
  A
</math>.
<br />

=== Submatriz principal inferior ===
Sea <math>
  A
</math> una matriz cuadrada de orden <math>
  n
</math> y <math>
  I_A = \{ 1,\dots , n \}
</math> el conjunto de índices de <math>
  A
</math>, si tomamos <math>
  k \in I_A
</math> , decimos que la matriz principal <math>
  A[\{k,\dots ,n\}]
</math> es una submatriz principal inferior de <math>
  A
</math>.<ref name=":0" />



<math>
  \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ 
    a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
    a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
  \end{bmatrix}
</math>


Tomando <math>
  k = 2
</math>: 


<math>
  \mathbf{A}[\{2,3,4 \}]=\begin{bmatrix} 
    a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
    a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
    a_{42} & a_{43} & a_{44}
  \end{bmatrix}
</math> 


<math>
  A[\{2,3,4\}]
</math> es una submatriz principal inferior de <math>
  A
</math>.

== Véase también ==
*[[Menores principales]]

== Referencias ==
<references />

== Enlaces externos ==

*{{MathWorld|Submatrix|Submatrix}}
*{{PlanetMath|4150|Block matrix}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Matrices]]
[[Categoría:Álgebra lineal numérica]]