Teorema de Fubini

En matemáticas el teorema de Fubini, llamado así en honor del matemático italiano Guido Fubini, afirma que si:

${\int }_{A\times B}|f(x,y)|d(x,y)<\mathrm{\infty },$

la integral respecto al producto cartesiano de dos intervalos en el espacio

$A\times B$

puede ser escrita como:

${\int }_A({\int }_{B}f(x,y)dy)dx={\int }_B({\int }_{A}f(x,y)dx)dy={\int }_{A\times B}f(x,y)d(x,y),$

Las primeras dos integrales son simples, mientras que la tercera es una integral en el producto de dos intervalos.

Por otra parte si:

$f(x,y)=f(x)g(y)$

entonces:

${\int }_{A}f(x)dx{\int }_{B}g(y)dy={\int }_{A\times B}f(x)g(y)d(x,y)$

Por lo tanto la integral doble es reducible al producto de dos integrales simples.

Si la serie $\sum _{i\ge 1,j\ge 1}{a}_{i,j}$ converge absolutemente, las relaciones

$\sum _{i\ge 1,j\ge 1}{a}_{i,j}=\sum _{i\ge 1}\left(\sum _{j\ge 1}{a}_{i,j}\right)=\sum _{j\ge 1}\left(\sum _{i\ge 1}{a}_{i,j}\right)$

son válidas. También se llama el "teorema de Fubini".

Aplicaciones

Integral de Gauss

Una aplicación del teorema de Fubini es la evaluación de la "integral de Gauss" (también llamada "integral gaussiana" o "integral de probabilidad"), la cual es base de una gran parte de la teoría de probabilidad:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$

Para ver cómo es usado el "teorema de Fubini" para probar este importante resultado, véase la integral de Gauss.

Véase también

• Principio de Cavalieri (un caso particular del teorema de Fubini).