Cuadrivelocidad

La cuadrivelocidad es una magnitud vectorial asociada al movimiento de una partícula, usada en el contexto de la teoría de la relatividad, que es tangente a la trayectoria de dicha partícula a través del espacio-tiempo cuatridimiensional que generaliza el concepto de velocidad de la mecánica newtoniana.

Relación entre velocidad y cuadrivelocidad

Relatividad especial

De la misma manera que la velocidad $𝐯$ en mecánica newtoniana es la derivada temporal de la posición respecto al tiempo, en la teoría de la relatividad la cuadrivelocidad $𝐕$ es la derivada temporal de las coordenadas de posición respecto al tiempo propio de la partícula:

(1) $V^{i} = \frac{d x^{i}}{d τ}$

Dada la relación entre el tiempo coordenado y el tiempo propio el cuadrivector velocidad viene dado por:

$𝐕 = (γ c; γ v_{x}, γ v_{y}, γ v_{z}) = (\frac{c}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}; \frac{𝐯}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}) \in ℝ \times ℝ^{3}$

Donde $𝐯 = (v_{x}, v_{y}, v_{z})$ es la velocidad newtoniana convencional y $γ$ es el factor de Lorentz. Es importante notar que el "módulo" de dicha velocidad, es constante debido a que:

$| 𝐕 | := \sqrt{- g (𝐕, 𝐕)} = \sqrt{- η_{α β} V^{α} V^{β}} = \sqrt{- γ^{2} (- c^{2} + v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2})} = c \sqrt{\frac{1 - \frac{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}}{c^{2}}}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = c$

Relatividad general

En relatividad las cosas son bastante más complicadas, particularmente si el espacio-tiempo no es estacionario. Ya que la relación entre la velocidad coordenada y la velocidad física de una partícula es funcionalmente complicada. Si bien el "módulo" la cuadrivelocidad es igual a la constante c, la velocidad coordenada numéricamente puede superar a la velocidad de la luz (esto pasa porque la velocidad coordenada, por ejemplo, no es un tensor). La cuadrivelocidad o velocidad física puede definirse como la derivada respecto al tiempo propio:

$V^{α} = \frac{d x^{α}}{d τ}$

donde el tiempo propio dependerá del camino L seguido por la partícula:

$τ = \int_{L} [\sqrt{- g_{00}} d t + \frac{g_{0 α} d x^{α}}{c \sqrt{- g_{00}}}]$

Si el espacio tiempo es estacionario entonces existe un sistema de coordenadas donde el tensor métrico cumpla que $g_{0 α} = 0$ y donde $g_{00}$ no dependa de la coordenada temporal, y en ese caso puede escogerse una foliación que define un tiempo universal. Y la integral anterior es más sencilla de evaluar.

En el caso general, la cuadrivelocidad se define como:

$𝐕 = (\frac{c}{\sqrt{- g_{00} - ⟨ 𝐯, 𝐯 ⟩}}, \frac{𝐯}{\sqrt{- g_{00} - ⟨ 𝐯, 𝐯 ⟩}})$

Donde $⟨ 𝐯, 𝐯 ⟩ = κ_{a b} v^{a} v^{b}$ siendo $v^{a}$ las componentes de la velocidad coordenada, $a, b \in {1, 2, 3}$ y $κ_{a b} = g_{a b} - (g_{0 a} g_{0 b} / g_{00})$ .

Relaciones con otras magnitudes

Análogamente a lo que sucede en mecánica newtoniana, donde la cantidad de movimiento y la velocidad son dos vectores proporcionales, en mecánica relativista sus análogos el cuadrimomento y la cuadrivelocidad son dos vectores que difieren sólo en una constante de proporcionalidad, que se identifica con la masa en reposo:

$𝐏 = m 𝐕 = (\frac{E}{c}; p_{x}, p_{y}, p_{z}) = (\frac{m c}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}; \frac{m 𝐯}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}})$

Véase también