Teorema de Chasles

El teorema de Chasles es una proposición de geodesia física. Considerando una función $v$ armónica fuera de una superficie $\Sigma$ y suponiendo además que $\Sigma$ es una "superficie equipotencial", entonces en esta superficie $\Sigma$ se tiene que $v=v_o$, siendo la cantidad $v_o$ una constante arbitraria. Para un punto $P$ fuera de $\Sigma$, la representación integral de una función armónica permite escribir

$v(P)=-\frac{1}{4\pi }{\iint }_{\Sigma }{r}^{-1}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}n}\mathrm{d}\sigma +\frac{v_o}{4\pi }{\iint }_{\Sigma }\frac{\mathrm{d}{r}^{-1}}{\mathrm{d}n}\mathrm{d}\sigma$,

con $r$ que indica la distancia desde $P$ a cualquier punto en $\Sigma$. Ahora, de acuerdo con el teorema de Gauss-Bonnet para un punto externo, la segunda integral del miembro derecho se desvanece, por lo que resulta que

$v(P)=-\frac{1}{4\pi }{\iint }_{\Sigma }{r}^{-1}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}n}\mathrm{d}\sigma$.

Esta fórmula se debe a Michel Chasles (1793-1880). Demuestra que cualquier función armónica puede representarse mediante un potencial de capa simple en cualquiera de sus superficies equipotenciales $v=$ const. En el caso particular del potencial gravitatorio $V$ de un cuerpo sólido situado en el interior de $\Sigma$, el teorema de Chasles afirma que siempre es posible sustituir el cuerpo sólido por una capa simple de la superficie de densidad uniforme para adaptarse a una de sus superficies equipotenciales externas sin cambiar el potencial en el exterior. Este teorema puede ser comparado con el teorema de unicidad de Stokes.