Elemento supremo e ínfimo

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Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A (diamante rojo).

En matemáticas, dado un subconjunto $S$ de un conjunto parcialmente ordenado $(P,\le )$, el supremo de $S$, si existe, es el mínimo elemento de $P$ que es mayor o igual a cada elemento de $S$. En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de $S$. El supremo de un conjunto $S$ comúnmente se denota como $supS$.

De forma análoga, se define el ínfimo $S$, si existe, como la mayor de las cotas inferiores de $S$, y se suele denotar por $infS$.

Definiciones

Sea $T$ un subconjunto no vacío de $ℝ$.

1. Si $T$ está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo ―o una mínima cota superior― de $T$ si es menor que cualquier cota superior de $T$. En tal caso, a esa cota superior se le denota $supT$.
2. Si $T$ está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo ―o una máxima cota inferior― de $T$ si es mayor que cualquier cota inferior de $T$. En tal caso, a esa cota inferior se le denota $infT.$

Propiedades

• En el cuerpo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.

• $s$ es supremo del subconjunto $T$ no vacío del conjunto $ℝ$ de números reales si es cota superior de $T$ y si, y solo si para toda $\epsilon >0$ existe $s_{\epsilon }$ en $T$ tal que $s-\epsilon <s_{\epsilon }$.

• $r$ es ínfimo del subconjunto $T$ no vacío del conjunto $ℝ$ de números reales si es cota inferior de $T$ y si, y solo si para toda $\epsilon >0$ existe $r_{\epsilon }$ en $T$ tal que $r+\epsilon >r_{\epsilon }$.

• Sean $L$ un subconjunto acotado de números reales y $K$ un subconjunto no vacío de $L$. Se cumple que $infL\le infK\le supK\le supL$.

• Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único
• $sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\}$, si es que dichos supremos existen
• $inf(A\cup B)=min\{inf(A),inf(B)\}$, si es que dichos ínfimos existen
• Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.

Ejemplos

• $sup\{1,2,3\}=3$
• $inf\{1,2,3\}=1$
• $sup\{x\in ℝ|0<x<1\}=sup\{x\in ℝ|0\le x\le 1\}=1$
• $inf\{x\in ℝ|0<x<1\}=inf\{x\in ℝ|0\le x\le 1\}=0$

• $sup\{x\in {\mathbb{Q}}^{\mathbb{+}}|x^2\le 2\}=\sqrt{2}$
• $inf\{x\in {\mathbb{Q}}^{\mathbb{+}}|x^2<2\}=0$
• $sup\{(-1{)}^n-\frac{1}{n}|n\in \mathbb{N}\}=1$
• $inf\{\frac{1}{n}|n\in \mathbb{N}\}=0$

Véase también

• Acotado

• Elemento maximal y minimal
• Elemento máximo y mínimo

• Elemento mayorante y minorante
• Elemento mayor y menor

• Elemento supremo e ínfimo

Bibliografía

• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.
• Supremum (en PlanetMath.org)
• Weisstein, Eric W. «Supremum function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.