Octógono

Octágono
Archivo:08-L Octógono.svg Un octágono regular
Características
Tipo	Polígono regular
Lados	8
Vértices	8
Grupo de simetría	$D_8$, orden 2x8
Símbolo de Schläfli	{8}, t{4} (octágono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin	Archivo:CDel node 1.pngArchivo:CDel 8.pngArchivo:CDel node.png Archivo:CDel node 1.pngArchivo:CDel 4.pngArchivo:CDel node 1.png
Polígono dual	Autodual
Área	$A=2(1+\sqrt{2})a^2\simeq 4.83a^2$ (lado $a$)
Ángulo interior	135°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico

Archivo:Regular polygon 8 annotated.svg

Un octógono regular y sus ángulos principales

Un octógono u octágono es una figura plana con ocho lados y ocho vértices.

Características

Un octágono tiene 20 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, $D=n(n-3)/2$; siendo el número de lados $n=8$, se tiene:

$D=\frac{8(8-3)}{2}=20$

La suma de todos los ángulos internos de cualquier octógono es 1080 grados o $6\pi$ radianes.

Octágono regular

Archivo:OctagonConstructionAni.gif

Construcción de un octógono regular con regla y compás

Un octágono regular es un polígono regular de ocho lados, por tanto, tiene sus lados y ángulos iguales (congruentes) y los lados se unen formando un ángulo de 135° o $3\pi /4$ rad. Cada ángulo externo del octógono regular mide 45° o $\pi /4$ rad.

Para obtener el perímetro P de un octógono regular, multiplíquese la longitud t de uno de sus lados por ocho (el número de lados n del polígono).

$P=n\cdot t=8t$

pero si solo se conoce la longitud de la apotema del polígono,a, el valor del perímetro será:

$P=16a(\sqrt{2}-1)$

La apotema en función del lado del polígono, $t$, es

$a=\frac{t}{2}\cdot \frac{\sin (67.5^{\circ })}{\sin (22.5^{\circ })}=\frac{t}{2}\cdot \cot (\pi /8)$

El área A de un octógono regular de lado t se calcula mediante la fórmula:

Archivo:OctagonText.svg

Octógono regular

$A=\frac{8t^2}{4\tan (\frac{\pi }{8})}\simeq 4.8284t^2,$

donde $\pi$ es la constante pi y $\tan$ es la función tangente calculada en radianes.

Si se conoce la longitud del apotema a del polígono, una alternativa para calcular el área es:

$A=\frac{P\cdot a}{2}=\frac{8t\cdot a}{2}=4\cdot t\cdot a$

Si solo se conoce el lado t, se puede calcular el área con la siguiente fórmula:

$A=2t^2(1+\sqrt{2})$

O bien, si solo se conoce la apotema a,

$A=8\cdot a^2\cdot \frac{\sin (22.5^{\circ })}{\sin (67.5^{\circ })}=8\cdot a^2\cdot \tan (\pi /8)\simeq a^2\cdot 3.31371$

El símbolo de Schläfli del octógono regular es {8}.

Octágono irregular

Un octágono irregular es una figura plana de 8 lados con longitudes y ángulos desiguales. Esto significa que hay una enorme variación posible de combinación de longitudes y ángulos, el número de octógonos irregulares posibles es virtualmente infinito. Se calculan las áreas de los ocho triángulos. El área del primer triángulo es:

$A=\frac{L_1\cdot h_1}{2}$

Se utiliza la misma fórmula para calcular el área de los otros siete triángulos.

Se suman las ocho áreas y se obtiene el área del octágono irregular: El octágono irregular tiene algunos o todos sus ángulos interiores desiguales. La fórmula de su perímetro es la suma de la longitud de sus ocho lados:

$P=L_1+L_2+\dots +L_8$

donde L₁, L₂, ..., L₈ son los lados del octágono. También se puede expresar como:

$P=\sum _{k=1}^8{L}_k$

Véase también

• Polígono (geometría)
• Figura geométrica

Enlaces externos

• Archivo:Commons-logo.svg Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre octágonos.
• Archivo:Wiktionary-logo.svg Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre octágono.