Matriz aumentada

En álgebra lineal, la matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación.

Sean las matrices $A$ y $B$, donde

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 0& 1\\ 5& 2& 2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}4\\ 3\\ 1\end{array}\right]$

Entonces la matriz aumentada $(A|B)$ se representa de la siguiente manera:

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 4\\ 2& 0& 1& 3\\ 5& 2& 2& 1\end{array}\right]$

Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados por matrices cuadradas. También se puede utilizar para encontrar la inversa de una matriz.

Ejemplos

Sea $C$ una matriz cuadrada de dimensiones 2x2 donde $C=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ -5& 0\end{array}\right]$

Para encontrar la inversa de $C$, se crea $(C|I)$, donde $I$ es la matriz identidad de dimensiones 2x2. A continuación se transforma en la matriz identidad la parte de $(C|I)$ correspondiente a $C$, usando únicamente transformaciones de matriz elementales en $(C|I)$.

$(C|I)=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\\ -5& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$(I|C^{-1})=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{1}{5}\\ 0& 1& \frac{1}{3}& \frac{1}{15}\end{array}\right]$

En álgebra lineal, se utiliza la matriz aumentada para representar los coeficientes así como las constantes de cada ecuación. Dado el conjunto de ecuaciones:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+2x_2+3x_3=0\\ 3x_1+4x_2+7x_3=2\\ 6x_1+5x_2+9x_3=11\end{array}$

la matriz aumentada estaría formada por:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 4& 7\\ 6& 5& 9\end{array}\right]$

y

$B=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 11\end{array}\right]$

dando como resultado final:

$C=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 0\\ 3& 4& 7& 2\\ 6& 5& 9& 11\end{array}\right]$