Distribución log-normal

Log-normal
Archivo:Lognormal distribution PDF.svg Función de densidad de probabilidad
Archivo:CDF-log normal distributions-1.svg Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$\mu \in ℝ,$ $\sigma >0$
Dominio	$x\in (0,\mathrm{\infty })$
Función de densidad (pdf)	$\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$
Función de distribución (cdf)	$\Phi \left(\frac{\ln (x)-\mu }{\sigma }\right)$
Media	$\exp (\mu +\frac{{\sigma }^2}{2})$
Mediana	$\exp (\mu )$
Moda	$\exp (\mu -{\sigma }^2)$
Varianza	$e^{2\mu +{\sigma }^2}(e^{{\sigma }^2}-1)$
Coeficiente de simetría	$(e^{{\sigma }^2}+2)\sqrt{e^{{\sigma }^2}-1}$
Entropía	${\log }_2\left(\sigma e^{\mu +\frac{1}{2}}\sqrt{2\pi }\right)$

En probabilidad y estadística, la distribución normal logarítmica es una distribución de probabilidad continua de una variable aleatoria cuyo logaritmo está normalmente distribuido. Es decir, si $X$ es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces $\exp (X)$ tiene una distribución log-normal, es decir $e^X\sim \mathrm{Lognormal}({\mu }_x,{\sigma }_x^2)$.

Log-normal también se escribe log normal o lognormal.

Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.

Definición

Función de Densidad

Una variable aleatoria positiva $X$ tiene una distribución lognormal con parámetros $\mu$ y $\sigma$ y escribimos $X\sim \mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2)$, si el logaritmo natural de $X$ sigue una distribución normal con media $\mu$ y varianza ${\sigma }^2$, esto es

$\ln (X)\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

Sean $\Phi$ y $\varphi$ las funciones de distribución acumulada y de densidad de una normal estándar $N(0,1)$, entonces la función de densidad de probabilidad de la distribución log-normal está dada por:

$\begin{array}{cc}{f}_X(x)& =\frac{d}{dx}\mathrm{P}[X\le x]=\frac{d}{dx}\mathrm{P}[\ln (X)\le \ln (x)]=\frac{d}{dx}\Phi \left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma }\right)\\ & =\varphi \left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma }\right)\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma }\right)=\varphi \left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma }\right)\frac{1}{\sigma x}\\ & =\frac{1}{\sigma x\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})\end{array}$

Función de Distribución

La función de distribución acumulada es

$F_X(x)=\Phi \left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma }\right)$

donde $\Phi$ es la función de distribución acumulada de una normal estándar $N(0,1)$.

La expresión anterior también puede ser escrita como

$\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma \sqrt{2}}\right)]=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}(-\frac{\ln x-\mu }{\sigma \sqrt{2}})$

Log-normal Multivariada

Si$𝑿\sim N(𝝁,𝜮)$ es una distribución normal multivariada entonces $𝒀=\exp (𝑿)$ tiene una distribución lognormal multivariante con media

$\mathrm{E}[𝒀{]}_i=e^{{\mu }_i+\frac{1}{2}{\Sigma }_{ii}}$

y matriz de covarianza

$\mathrm{Var}(𝒀{)}_{ij}=e^{{\mu }_i+{\mu }_j+\frac{1}{2}({\Sigma }_{ii}+{\Sigma }_{jj})}(e^{{\Sigma }_{ij}}-1)$

Propiedades

Si $X\sim \mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2)$ entonces la variable aleatoria $X$ cumple algunas propiedades.

La media de $X$ es

$\mathrm{E}[X]=e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}$

La varianza de $X$ es

$\mathrm{Var}(X)=(e^{{\sigma }^2}-1)e^{2\mu +{\sigma }^2}$.

Relación con media y la desviación estándar geométrica

La distribución log-normal, la media geométrica, y la desviación estándar geométrica están relacionadas. En este caso, la media geométrica es igual a $\exp (\mu )$ y la desviación estándar geométrica es igual a $\exp (\sigma )$.

Si una muestra de datos determina que proviene de una población distribuida siguiendo una distribución log-normal, la media geométrica de la desviación estándar geométrica puede utilizarse para estimar los intervalos de confianza tal como la media aritmética y la desviación estándar se usan para estimar los intervalos de confianza para un dato distribuido normalmente.

Límite de intervalo de confianza	log	geométrica
3σ límite inferior	$\mu -3\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}/{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}^3$
2σ límite inferior	$\mu -2\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}/{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}^2$
1σ límite inferior	$\mu -\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}/{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}$
1σ límite superior	$\mu +\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}$
2σ límite superior	$\mu +2\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}^2$
3σ límite superior	$\mu +3\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}^3$

Donde la media geométrica ${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}=\exp (\mu )$ y la desviación estándar geométrica ${\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}=\exp (\sigma )$

Momentos

Los primeros momentos son:

${\mu }_1=e^{\mu +{\sigma }^2/2}$

${\mu }_2=e^{2\mu +4{\sigma }^2/2}$

${\mu }_3=e^{3\mu +9{\sigma }^2/2}$

${\mu }_4=e^{4\mu +16{\sigma }^2/2}$

o de forma general:

${\mu }_k=e^{k\mu +k^2{\sigma }^2/2}.$

Inferencia Estadística

Estimación de parámetros

Para determinar los estimadores por máxima verosimilitud de la distribución lognormal con parámetros $\mu$ y ${\sigma }^2$, podemos utilizar el mismo método que se utilizó para estimar los parámetros de una distribución normal. Notemos que

$L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^n\frac{1}{x_i}{\phi }_{\mu ,\sigma }(\ln x_i)$

donde $\phi$ denota la función de densidad de la distribución normal $N(\mu ,{\sigma }^2)$ entonces la función logarítmica de verosimilitud es

$ℒ(x_1,x_2,\mathrm{...},x_n;\mu ,\sigma )=-\sum _i\ln x_i+{ℒ}_N(\ln x_1,\ln x_2,\mathrm{...},\ln x_n;\mu ,\sigma )$

Dado que el primer término es constante respecto a $\mu$ y $\sigma$, ambas funciones logarítmicas de verosimilitud, $ℒ$ y ${ℒ}_N$, obtienen su máximo con el mismo $\mu$ y $\sigma$, por lo tanto, utilizando los estimadores por máxima verosimilitud son idénticos a los de la distribución normal para observaciones $\ln x_1,\ln x_2,\dots ,\ln x_n$

$\hat{\mu }=\frac{\sum _k\ln x_k}{n},\widehat{{\sigma }^2}=\frac{\sum _k{(\ln x_k-\hat{\mu })}^2}{n}.$

Para una $n$ finita, estos estimadores son in sesgados.

Archivo:FitLogNormDistr.tif

Distribución log-normal ajustada a datos de lluvias máximas diarias por año.

Aplicación

• En la hidrología, se utiliza la distribución log-normal para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos, y además para describir épocas de sequía.

La imagen azul ilustra un ejemplo del ajuste de la distribución log-normal a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

Distribución relacionada

• Si $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ es una distribución normal entonces $e^X\sim \mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2)$.
• Si $X\sim \mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2)$ entonces $\ln (X)\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$.
• Si $X_m\sim \mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }_m^2),m=\overline{\mathrm{1...}n}$ son variables independentes log-normalmente distribuidas con el mismo parámetro μ y permitiendo que varíe σ, y $Y=\prod _{m=1}^N{X}_m$, entonces Y es una variable distribuida log-normalmente como: $Y\sim \mathrm{Lognormal}(\mu ,\sum _m{\sigma }_m^2)$.
• Si $X\sim \mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2)$ entonces $X^{\alpha }\sim \mathrm{Lognormal}(\alpha \mu ,{\alpha }^2{\sigma }^2)$ para $\alpha \ne 0$.

Véase también

• Distribución normal
• Media geométrica
• Desviación estándar
• Función error
• Análisis de frecuencia acumulada

Software

Se puede usar software o programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la lognormal, a una serie de datos:

• Easy fit Archivado el 23 de febrero de 2018 en Wayback Machine., "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting Archivado el 30 de agosto de 2012 en Wayback Machine.
• CumFreq [2] , libre sin costo, incluye la distribución normal, la lognormal, raíz-normal, cuadrado-normal, e intervalos de confianza a base de la distribución binomial
• Calculadora Distribución log-normal