Forma indeterminada

En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

• $0÷0$
• $\mathrm{\infty }÷\mathrm{\infty }$
• $0\times \mathrm{\infty }$
• $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$
• $0^0$
• $1^{\mathrm{\infty }}$
• ${\mathrm{\infty }}^0$
• $\sqrt[0]{1}$
• $\sqrt[\mathrm{\infty }]{0}$
• $\sqrt[\mathrm{\infty }]{\mathrm{\infty }}$
• ${\log }_0(0)$
• ${\log }_{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\infty })$
• ${\log }_1(1)$
• ${\log }_{\mathrm{\infty }}(0)$
• ${\log }_0(\mathrm{\infty })$

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, menos generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

Interpretación

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Cociente indeterminado

La forma 0/0

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x³, x/x, y x²/x se van a $\mathrm{\infty }$, 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que, informalmente, 0/0 puede ser 0, $\mathrm{\infty }$ o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada. Ejemplos:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x)}{x}=\frac{0}{0}$

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{x}=\frac{0}{0}$

La forma ∞/∞

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite $\mathrm{\infty }$. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo $\mathrm{\infty }$/$\mathrm{\infty }$. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{x}=\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x}}{\ln (x)}=\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$

Producto indeterminado

La forma indeterminada 0 • $\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}x\cdot \ln x=0\cdot (-\mathrm{\infty })$

$\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\cos x\cdot \tan x=0\cdot \mathrm{\infty }$

Diferencia indeterminada

En los casos en que el límite de una diferencia es $\mathrm{\infty }$, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo $\mathrm{\infty }$–$\mathrm{\infty }$. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Potencia indeterminada

• La forma 0⁰

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^x=\underset{x\to 0^{+}}{lim}{e}^{\ln x^x}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}{e}^{x\ln x}=e^{\underset{x\to 0^{+}}{lim}(x\ln x)}.$

• La forma $\mathrm{\infty }$⁰
• La forma 1^{$\mathrm{\infty }$}

Ejemplo: el siguiente límite

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^{\left(\frac{3}{4+\ln x}\right)}$, es de la forma $0^0$; considerando

$y=x^{\left(\frac{3}{4+\ln x}\right)}$

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

$\ln y=\frac{3}{4+\ln x}\ln x$ aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene

$\ln y=3\cdot \frac{1/x}{1/x}=3$ de manera que el límite sería

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}y=e^3$

Tabla de formas indeterminadas

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

Forma indeterminada	Condiciones	Transformación a 0/0	Transformación a ∞/∞
$\frac{0}{0}$	$\underset{x\to c}{lim}f(x)=0,\underset{x\to c}{lim}g(x)=0$	—	$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{lim}\frac{1/g(x)}{1/f(x)}$
$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$	$\underset{x\to c}{lim}f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{lim}\frac{1/g(x)}{1/f(x)}$	—
$0\cdot \mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{lim}f(x)=0,\underset{x\to c}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{lim}f(x)g(x)=\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{1/g(x)}$	$\underset{x\to c}{lim}f(x)g(x)=\underset{x\to c}{lim}\frac{g(x)}{1/f(x)}$
$1^{\mathrm{\infty }}$	$\underset{x\to c}{lim}f(x)=1,\underset{x\to c}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{lim}f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{lim}\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$	$\underset{x\to c}{lim}f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{lim}\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$
$0^0$	$\underset{x\to c}{lim}f(x)=0^{+},\underset{x\to c}{lim}g(x)=0$	$\underset{x\to c}{lim}f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{lim}\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$	$\underset{x\to c}{lim}f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{lim}\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$
${\mathrm{\infty }}^0$	$\underset{x\to c}{lim}f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{lim}g(x)=0$	$\underset{x\to c}{lim}f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{lim}\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$	$\underset{x\to c}{lim}f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{lim}\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$
$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{lim}f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{lim}(f(x)-g(x))=\underset{x\to c}{lim}\frac{1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}$	$\underset{x\to c}{lim}(f(x)-g(x))=\ln \underset{x\to c}{lim}\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}$

Véase también

• Bien definido
• División por cero
• Recta real extendida
• Regla de l'Hôpital
• Infinito

Bibliografía

• Stewart, James (1999). Cálculo:Trascendentes tempranas. Thompson Learning. ISBN 970-686-127-0. 
• Apostol, Tom (2006). Cálculus. Reverte. ISBN 968-6708-10-3.