Evoluta

Se llama evoluta de una curva "C" dada, al lugar geométrico de los centros de curvatura de "C".

Archivo:Evolute of an ellipse.gif

Una elipse (en azul) y su evoluta (verde). El círculo que se mueve es el círculo osculador a la elipse, cuyo centro es el centro de curvatura. También se puede observar que la recta tangente a la evoluta es normal a la elipse, es decir, la evoluta es la envolvente de las normales a la elipse. La evoluta de una elipse se llama astroide.

Ecuaciones

Sea la curva formada por el conjunto de puntos (x,y) donde x e y son funciones dependientes de una variable, normalmente llamada t para hacer referencia al tiempo. Entonces se puede escribir las coordenadas de la evoluta de la forma

$(X,Y)=\left(x-y^{\prime }\frac{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}{x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }},y+x^{\prime }\frac{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}{x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }}\right).$

donde a cada (x,y) - o lo que es lo mismo, a un valor de t que determina un punto de la curva - le corresponde un centro de curvatura (X,Y) en función de ese t. La relación entre ese punto y su centro de curvatura permite conocer el radio de curvatura (y por tanto su inversa, la curvatura):
$R=1/k=\frac{(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}{x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }},$

Si y=f(x), es decir, una variable depende de la otra, se puede simplificar observando los resultados de tomar x=t e y=f(t). Los centros de curvatura serán entonces:
$\begin{array}{cc}{x}_C=& x-\frac{y^{\prime }(1+y{\text{'}}^2)}{y^{″}}\\ y_C=& y+\frac{1+y{\text{'}}^2}{y^{″}}\end{array}\}$ y el radio $R=1/k=\frac{(1+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}{y^{″}}$

Eliminando x e y entre ellas se tiene la ecuación de la evoluta:

$F(x_C,y_C)=0$

Ejemplos de evolutas

Archivo:Evoluta1.PNG

Evoluta de la elipse con a=1 y b=2.

Evoluta de la elipse (astroide)

Dada la elipse:

$\begin{array}{cc}x=& a\cos t\\ y=& b\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}t\end{array}\}$

Su evoluta viene dada por:

$\begin{array}{cc}x=& \frac{a^2-b^2}{a}{\cos }^{3}t\\ y=& \frac{b^2-a^2}{b}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}^{3}t\end{array}\}$ que, eliminando el parámetro, queda: $(ax{)}^{\frac{2}{3}}+(by{)}^{\frac{2}{3}}=(a^2-b^2{)}^{\frac{2}{3}}$

Galería de imágenes

• La evoluta de una circunferencia es un punto.
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• La evoluta de una elipse es una astroide alargada.
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• La evoluta de una espiral logarítmica es otra espiral logarítmica con el mismo centro y ángulo.
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• La evoluta de una parábola es una parábola semicúbica.
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• La evoluta de $f(x)=x^3$
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• La evoluta de $f(x)=x^4$
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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «evolute». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.