Teorema multinomial

En matemática, el teorema multinomial describe cómo se expande una potencia de una suma de variables, en términos de potencias de las variables de esa suma. Es la generalización del teorema del binomio a multinomios.

Teorema

Para cualquier entero positivo m y cualquier entero no negativo n, el teorema indica cómo una suma con m términos se expande cuando se eleva a una potencia arbitraria n:

(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m})^{n} = \sum_{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{m}^{k_{m}}

donde $(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots k_{m}!}$ es un coeficiente multinomial. La suma se toma sobre todas las combinaciones de índices enteros no-negativos $k_{1}$ a $k_{m}$ , cuya suma sea igual a n:

$k_{i} \geq 0 / k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} = n .$

Es decir, para cada término de la expansión, los exponentes de las variables $x_{i}$ deben sumar n. Además, al igual que con el teorema del binomio, las cantidades de la forma $x_{i}^{0}$ , se toman como iguales a 1 (incluso cuando $x_{i}$ es igual a 0).

En el caso en que se tienen $m = 2$ variables, esta afirmación se reduce a la del Teorema del binomio:

$(x_{1} + x_{2})^{n} = \sum_{k_{1} + k_{2} = n} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} = \sum_{k_{1} = 0}^{n} \frac{n!}{k_{1}! (n - k_{1})!} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{n - k_{1}} = \sum_{k_{1} = 0}^{n} (\binom{n}{k_{1}}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{n - k_{1}} .$

Ejemplos

Consideremos el caso de $m = 3$ variables y exponente $n = 5$ . Es decir, queremos desarrollar la siguiente potencia de una suma de tres variables: $(x_{1} + x_{2} + x_{3})^{5}$ . El teorema del multinomio afirma que el desarrollo es de la forma:

$(x_{1} + x_{2} + x_{3})^{5} = \sum_{k_{1} + k_{2} + k_{3} = 5} (\binom{5}{k_{1}, k_{2}, k_{3}}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} x_{3}^{k_{3}}$ , donde se define cada coeficiente multinomial como: $(\binom{5}{k_{1}, k_{2}, k_{3}}) = \frac{5!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}!}$ .

Es decir que se tiene un sumando por cada terna de exponentes enteros no negativos $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ , cuya suma sea cinco: $k_{1} + k_{2} + k_{3} = 5$ . Por ejemplo, los valores $k_{1} = 3, k_{2} = 0, k_{3} = 2$ , corresponden al sumando $x_{1}^{3} x_{2}^{0} x_{3}^{2} = x_{1}^{3} x_{3}^{2}$ . El teorema del multinomio afirma que el coeficiente que multiplica a dicho sumando es: $(\binom{5}{3, 0, 2}) = \frac{5!}{3! 0! 2!} = 10.$

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Multinomial Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Teorema multinomial», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .