Edición de «Repunit»

{{Ficha de serie entera
|name= Primo repituno
|terms_number= 11
|con_number= Infinito
|first_terms= [[Once|11]], 1111111111111111111, 11111111111111111111111
|largest_known_term= (10<sup>8177207</sup>−1)/9
|OEIS= A004022
|OEIS_name= Primos de la forma {{nowrap|(10^n − 1)/9}}
}}

En [[matemáticas recreativas]], un '''repituno''' (en [[idioma inglés|inglés]], ''repunit'') es un número como 11, 111 o 1111 que contiene solamente el dígito 1 (la forma más sencilla de [[repdigit|repidígito]]). El término en inglés proviene de ''repeated unit'' y fue acuñado en 1966 por Albert H. Beiler.

Un '''primo repituno''' es un repituno que también es un [[número primo]]. En [[Sistema binario|binario]], estos números son los [[Número primo de Mersenne|primos de Mersenne]].

== Definición ==
Los repitunos en base ''b'' se definen como

:<math>R_n^{(b)}={b^n-1\over{b-1}}\qquad\mbox{para }b\ge2, n\ge1.</math>

Así, el número ''R''<sub>''n''</sub><sup>''(b)''</sup> consta de ''n'' ejemplares del dígito 1 en base b. Los dos primeros repitunos en base ''b'' para ''n''=1 y ''n''=2 son

:<math>R_1^{(b)}={b-1\over{b-1}}= 1 \qquad \text{y} \qquad R_2^{(b)}={b^2-1\over{b-1}}= b+1\qquad\text{para}\ b\ge2.</math>

En particular, los ''repitunos [[Sistema de numeración decimal|decimales]] (en base 10)'' a quienes se les suele llamar simplemente ''repitunos'' se definen como

:<math>R_n=R_n^{(10)}={10^n-1\over{10-1}}={10^n-1\over9}\qquad\mbox{para }n\ge1.</math>

Así, el número ''R''<sub>''n''</sub> = ''R''<sub>''n''</sub><sup>''(10)''</sup> consta de ''n'' ejemplares del dígito 1 en base 10. La sucesión de repitunos en base diez comienza con

: [[Uno|1]], [[Once|11]], 111, 1111, ... {{OEIS|A002275}}.

Análogamente, los repitunos en base 2 se definen como

:<math>R_n^{(2)}={2^n-1\over{2-1}}={2^n-1}\qquad\mbox{para }n\ge1.</math>

Así, el número ''R''<sub>''n''</sub><sup>''(2)''</sup> consta de ''n'' ejemplares del dígito 1 en base 2. De hecho, los repitunos en base 2 son los ya conocidos [[Número primo de Mersenne|números de Mersenne]] ''M''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;2<sup>''n''</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1.

== Propiedades ==
* En cualquier base, cualquier repituno que tenga un [[número compuesto]] de dígitos es necesariamente compuesto. Solamente los repitunos (en cualquier base) que tengan un número primo de dígitos pueden ser primos (condición necesaria pero no suficiente). Por ejemplo,
*: ''R''<sub>35</sub><sup>(''b'')</sup> = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001,
:dado que 35 = 7 × 5 = 5 × 7.  Esta factorización no depende de la base ''b'' en la que se exprese el repituno.

* Cualquier múltiplo positivo del repituno ''R''<sub>''n''</sub><sup>(''b'')</sup> contiene al menos ''n'' dígitos distintos de cero en base ''b''.

* Los únicos números conocidos de al menos 3 dígitos que son simultáneamente repitunos en más de una base son 31 (111 en base 5, 11111 en base 2) y 8191 (111 en base 90, 1111111111111 en base 2). La [[conjetura de Goormaghtigh]] dice que solamente hay esos dos casos.

* Utilizando el [[principio del palomar]] se puede demostrar fácilmente que para cada ''n'' y ''b'' tales que ''n'' y ''b'' son [[Números primos entre sí|primos entre sí]] existe un repituno en base ''b'' que es múltiplo de ''n''. Para ver esto considérense los repitunos ''R''<sub>1</sub><sup>(''b'')</sup>,...,''R''<sub>''n''</sub><sup>(''b'')</sup>. Supongamos que ninguno de los ''R''<sub>''k''</sub><sup>(''b'')</sup> es divisible por ''n''. Como hay ''n'' repitunos pero solamente ''n''-1 restos distintos de cero módulo ''n'', existen dos repitunos ''R''<sub>''i''</sub><sup>(''b'')</sup> y ''R''<sub>''j''</sub><sup>(''b'')</sup> con 1≤''i''<''j''≤''n'' tales que ''R''<sub>''i''</sub><sup>(''b'')</sup> y ''R''<sub>''j''</sub><sup>(''b'')</sup> tienen el mismo resto módulo ''n''. Se sigue entonces que ''R''<sub>''j''</sub><sup>(''b'')</sup> - ''R''<sub>''i''</sub><sup>(''b'')</sup> tiene resto 0 módulo ''n'', es decir, es divisible por ''n''. ''R''<sub>''j''</sub><sup>(''b'')</sup> - ''R''<sub>''i''</sub><sup>(''b'')</sup> consta de ''j'' - ''i'' unos seguidos por ''i'' ceros. Así, ''R''<sub>''j''</sub><sup>(''b'')</sup> - ''R''<sub>''i''</sub><sup>(''b'')</sup> = ''R''<sub>''j''-''i''</sub><sup>(''b'')</sup>  x 10<sup>''i''</sup>  = ''R''<sub>''j''-''i''</sub><sup>(''b'')</sup>  x ''b''<sup>''i''</sup> . Dado que ''n'' divide el lado de la izquierda, también divide el lado de la derecha, y como ''n'' y ''b'' son primos entre sí, ''n'' debe dividir a ''R''<sub>''j''-''i''</sub><sup>(''b'')</sup> [[Reductio ad absurdum|contradiciendo]] la suposición inicial.
<!-- La propiedad que viene aquí en la wikipedia en inglés tiene una nota de no relevancia. Ya la traduciré otro día si se tercia -->
* La [[conjetura de Feit-Thompson]] afirma que ''R''<sub>''q''</sub><sup>(''p'')</sup> nunca divide a ''R''<sub>''p''</sub><sup>(''q'')</sup> para dos primos distintos ''p'' y ''q''.

== Factorización de los repitunos decimales ==
La siguiente lista recoge la descomposición en factores primos de los sucesivos repitunos ('''R'''<sub>n</sub> = 1, 11, 111, 1111, ...) . Los factores primos coloreados en {{color|red|rojo}} indican que son "nuevos factores", es decir, que el factor primo coloreado de rojo divide a ''R''<sub>''n''</sub> pero que no divide a ningún ''R''<sub>''k''</sub> para todo ''k'' < ''n''. {{OEIS|id=A102380}}<ref> Para más información, véase [http://stdkmd.net/nrr/repunit/ Factorization of repunit numbers].</ref>

{|
|-
||
{|
|-
|'''R'''<sub>1</sub> =||1
|-
|'''R'''<sub>2</sub> =||{{color|red|11}}
|-
|'''R'''<sub>3</sub> =||{{color|red|3}} · {{color|red|37}}
|-
|'''R'''<sub>4</sub> =||11 · {{color|red|101}}
|-
|'''R'''<sub>5</sub> =||{{color|red|41}} · {{color|red|271}}
|-
|'''R'''<sub>6</sub> =||3 · {{color|red|7}} · 11 · {{color|red|13}} · 37
|-
|'''R'''<sub>7</sub> =||{{color|red|239}} · {{color|red|4649}}
|-
|'''R'''<sub>8</sub> =||11 · {{color|red|73}} · 101 · {{color|red|137}}
|-
|'''R'''<sub>9</sub> =||3<sup>2</sup> · 37 · {{color|red|333667}}
|-
|'''R'''<sub>10</sub> =||11 · 41 · 271 · {{color|red|9091}}
|-
|'''R'''<sub>11</sub> =||{{color|red|21649}} · {{color|red|513239}}
|-
|'''R'''<sub>12</sub> =||3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · {{color|red|9901}}
|-
|'''R'''<sub>13</sub> =||{{color|red|53}} · {{color|red|79}} · {{color|red|265371653}}
|-
|'''R'''<sub>14</sub> =||11 · 239 · 4649 · {{color|red|909091}}
|-
|'''R'''<sub>15</sub> =||3 · {{color|red|31}} · 37 · 41 · 271 · {{color|red|2906161}}
|-
|'''R'''<sub>16</sub> =||11 · {{color|red|17}} · 73 · 101 · 137 · {{color|red|5882353}}
|-
|'''R'''<sub>17</sub> =||{{color|red|2071723}} · {{color|red|5363222357}}
|-
|'''R'''<sub>18</sub> =||3<sup>2</sup> · 7 · 11 · 13 · {{color|red|19}} · 37 · {{color|red|52579}} · 333667
|-
|'''R'''<sub>19</sub> =||{{color|red|{{loop|19|1}}}}
|-
|'''R'''<sub>20</sub> =||11 · 41 · 101 · 271 · {{color|red|3541}} · 9091 · {{color|red|27961}}
|-
|'''R'''<sub>21</sub> =||3 · 37 · {{color|red|43}} · 239 · {{color|red|1933}} · 4649 · {{color|red|10838689}}
|-
|'''R'''<sub>22</sub> =||11<sup>2</sup> · {{color|red|23}} · {{color|red|4093}} · {{color|red|8779}} · 21649 · 513239
|-
|'''R'''<sub>23</sub> =||{{color|red|{{loop|23|1}}}}
|-
|'''R'''<sub>24</sub> =||3 · 7 · 11 · 13 · 73 · 101 · 137 · 9901 · {{color|red|99990001}}
|-
|'''R'''<sub>25</sub> =||41 · 271 · {{color|red|21401}} · {{color|red|25601}} · 182521213001
|}
||
{|
|'''R'''<sub>26</sub> =||11 · 53 · 79 · {{color|red|859}} · 265371653 · {{color|red|1058313049}}
|-
|'''R'''<sub>27</sub> =||3<sup>3</sup>· 37 · {{color|red|757}} · 333667 · {{color|red|440334654777631}}
|-
|'''R'''<sub>28</sub> =||11 · {{color|red|29}} · 101 · {{color|red|281}} · 239 · 4649 · 909091 · {{color|red|121499449}}
|-
|'''R'''<sub>29</sub> =||{{color|red|3191}} · {{color|red|16763}} · {{color|red|43037}} · {{color|red|62003}} · {{color|red|77843839397}}
|-
|'''R'''<sub>30</sub> =||3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · {{color|red|211}} · {{color|red|241}} · 271 · {{color|red|2161}} · 9091 · 2906161
|-
|'''R'''<sub>31</sub> =||{{color|red|2791}} · {{color|red|6943319}} · {{color|red|57336415063790604359}}
|-
|'''R'''<sub>32</sub> =||11 · 17 · 73 · 101 · 137 · {{color|red|353}} · {{color|red|449}} · {{color|red|641}} · {{color|red|1409}} · {{color|red|69857}} · 5882353
|-
|'''R'''<sub>33</sub> =||3 · 37 · {{color|red|67}} · 21649 · 513239 · {{color|red|1344628210313298373}}
|-
|'''R'''<sub>34</sub> =||11 · {{color|red|103}} · {{color|red|4013}} · 2071723 · 5363222357 · {{color|red|21993833369}}
|-
|'''R'''<sub>35</sub> =||41 · {{color|red|71}} · 239 · 271 · 4649 · {{color|red|123551}} · {{color|red|102598800232111471}}
|-
|'''R'''<sub>36</sub> =||3<sup>2</sup> · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · {{color|red|999999000001}}
|-
|'''R'''<sub>37</sub> =||{{color|red|2028119}} · {{color|red|247629013}} · {{color|red|2212394296770203368013}}
|-
|'''R'''<sub>38</sub> =||11 · {{color|red|909090909090909091}} · {{loop|19|1}}
|-
|'''R'''<sub>39</sub> =||3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · {{color|red|900900900900990990990991}}
|-
|'''R'''<sub>40</sub> =||11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · {{color|red|1676321}} · {{color|red|5964848081}}
|-
|'''R'''<sub>41</sub> =||{{color|red|83}} · {{color|red|1231}} · {{color|red|538987}} · {{color|red|201763709900322803748657942361}}
|-
|'''R'''<sub>42</sub> =||3 · 7<sup>2</sup> · 11 · 13 · 37 · 43 · {{color|red|127}} · 239 · 1933 · {{color|red|2689}} · 4649 · {{color|red|459691}} · 909091 · 10838689
|-
|'''R'''<sub>43</sub> =||{{color|red|173}} · {{color|red|1527791}} · {{color|red|1963506722254397}} · {{color|red|2140992015395526641}}
|-
|'''R'''<sub>44</sub> =||11<sup>2</sup> · 23 · {{color|red|89}} · 101 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · {{color|red|1052788969}} · {{color|red|1056689261}}
|-
|'''R'''<sub>45</sub> =||3<sup>2</sup> · 31 · 37 · 41 · 271 · {{color|red|238681}} · 333667 · 2906161 · {{color|red|4185502830133110721}}
|-
|'''R'''<sub>46</sub> =||11 · {{color|red|47}} · {{color|red|139}} · {{color|red|2531}} · {{color|red|549797184491917}} · {{loop|23|1}}
|-
|'''R'''<sub>47</sub> =||{{color|red|35121409}} · {{color|red|316362908763458525001406154038726382279}}
|-
|'''R'''<sub>48</sub> =||3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 5882353 · 99990001 · {{color|red|9999999900000001}}
|-
|'''R'''<sub>49</sub> =||239 · 4649 · {{color|red|505885997}} · {{color|red|1976730144598190963568023014679333}}
|-
|'''R'''<sub>50</sub> =||11 · 41 · {{color|red|251}} · 271 · {{color|red|5051}} · 9091 · 21401 · 25601 · 182521213001 · {{color|red|78875943472201}}
|}
|}

Los factores primos más pequeños de los sucesivos ''R''<sub>''n''</sub> son:
:1, 11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 11111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, 3, 11, 107, 3, 41, 11, 3, 11, 2559647034361, 3, 733, 11, 3, 11, 41, 3, 493121, 11, 3, 11, 241573142393627673576957439049, 3, 12171337159, 11, 3, ... {{OEIS|id=A067063}}

== Primos repitunos ==

La definición de repitunos tuvo su origen en las matemáticas recreativas al buscar sus [[factores primos]].

Es fácil demostrar que si ''n'' es divisible por ''a'', entonces ''R''<sub>''n''</sub><sup>(''b'')</sup> es divisible por ''R''<sub>''a''</sub><sup>(''b'')</sup>:

:<math>R_n^{(b)}=\frac{1}{b-1}\prod_{d|n}\Phi_d(b)</math>

donde <math>\Phi_d(x)</math> es el ''d''-ésimo [[polinomio ciclotómico]] y ''d'' recorre los divisores de ''n''. Para ''p'' primo, <math>\Phi_p(x)=\sum_{i=0}^{p-1}x^i</math>, que tiene la forma esperada de un repituno cuando se sustituye ''x'' por ''b''.

Por ejemplo, 9 es divisible por 3, y así ''R''<sub>9</sub> es divisible por ''R''<sub>3</sub>. De hecho, 111111111&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;·&nbsp;1001001. Los polinomios ciclotómicos correspondientes <math>\Phi_3(x)</math> y <math>\Phi_9(x)</math> son <math>x^2+x+1</math> y <math>x^6+x^3+1</math> respectivamente. Así, para que ''R''<sub>''n''</sub> sea primo, ''n'' debe ser necesariamente primo.

Pero no es suficiente con que ''n'' sea primo; por ejemplo, ''R''<sub>3</sub>&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;=&nbsp;3&nbsp;·&nbsp;37 no es primo. Excepto en este caso de ''R''<sub>3</sub>, ''p'' solamente puede dividir a ''R''<sub>''n''</sub> para ''n'' primo si ''p = 2kn + 1'' para algún ''k''.

=== Primos repitunos decimales ===

''R''<sub>''n''</sub> es primo para ''n''&nbsp;=&nbsp;2,&nbsp;19,&nbsp;23, 317, 1031,... (sucesión [[OEIS:A004023|A004023]] en [[OEIS]]). ''R''<sub>49081</sub> y ''R''<sub>86453</sub> son [[Probable primo|probablemente primos]]. El 3 de abril de 2007, [[Harvey Dubner]] (quien también encontró ''R''<sub>49081</sub>) anunció que ''R''<sub>109297</sub> es un probable primo.<ref>Harvey Dubner, ''[http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0704&L=nmbrthry&T=0&P=178 New Repunit R(109297)]''</ref> Luego anunció que no hay ningún otro primo del mismo tipo desde ''R''<sub>86453</sub> hasta ''R''<sub>200000</sub>.<ref>Harvey Dubner, ''[http://tech.groups.yahoo.com/group/primeform/message/8546 Repunit search limit]''</ref> El 15 de julio de 2007, Maksym Voznyy anunció que ''R''<sub>270343</sub> era probablemente primo,<ref>Maksym Voznyy, ''[http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0707&L=nmbrthry&T=0&P=1086 New PRP Repunit R(270343)]''</ref> junto con su intención de llegar hasta 400000. En noviembre de 2012 se han comprobado todos los demás candidatos hasta ''R''<sub>2500000</sub>, pero no se ha encontrado ningún probable primo hasta ahora.

Se ha conjeturado que existen infinitos primos repitunos<ref>Chris Caldwell, "[http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit The Prime Glossary: repunit]" at The [[Prime Pages]].</ref> dado que suelen aparecer tan frecuentemente como el [[teorema de los números primos]] predice: el exponente del ''N''-ésimo primo repituno es generalmente alrededor de un múltiplo fijo del exponente del (''N''-1)-ésimo.

Los primos repitunos son un subconjunto trivial de los [[número primo permutable|primos permutables]], es decir, primos que siguen siendo primos después de cualquier [[permutación]] de sus dígitos.

=== Primos repitunos en base 2 ===
{{AP|Número primo de Mersenne}}

Los primos repitunos en base 2 se llaman [[Número primo de Mersenne|primos de Mersenne]].

=== Primos repitunos en base 3 ===

Los primeros primos repitunos en base 3 son:

: 13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013, ... {{OEIS|A076481}},

que corresponden a los siguientes valores de <math>n</math>:

: 3, 7, 13, 71, 103, ... {{OEIS|A028491}}.

=== Primos repitunos en base 4 ===

El único primo repituno en base 4 es 5 (escrito 11 en base 4). <math>4^n-1=\left(2^n+1\right)\left(2^n-1\right)</math>, y 3 siempre divide a <math>2^n+1</math> cuando ''n'' es impar y a <math>2^n-1</math> cuando ''n'' es par. Para ''n'' mayor que 2, tanto <math>2^n+1</math> como <math>2^n-1</math> son mayores que 3, así que eliminando el factor 3 todavía quedan dos factores mayores que 1, así que el número no puede ser primo.

=== Primos repitunos en base 5 ===

Los primeros primos repitunos en base 5 son

: 31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, 815663058499815565838786763657068444462645532258620818469829556933715405574685778402862015856733535201783524826169013977050781 ..., {{OEIS|A086122}}

que corresponden a los siguientes valores de <math>n</math>

: 3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, ... {{OEIS|A004061}}.

=== Primos repitunos en base 6 ===

Los primeros primos repitunos en base 6 son

: 7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, ..., {{OEIS|A165210}}

que corresponden a los siguientes valores de <math>n</math>:

: 2, 3, 7, 29, 71, ... {{OEIS|A004062}}

=== Primos repitunos en base 7 ===

Los primeros primos repitunos en base 7 son
: 2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,<br>138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601
que corresponden a los siguientes valores de <math>n</math>:
: 5, 13, 131, 149, ... {{OEIS|A004063}}

=== Primos repitunos en base 8 ===

El único primo repituno en base 8 es 73 (escrito 111 en base 8). <math>8^n-1=\left(4^n+2^n+1\right)\left(2^n-1\right)</math>, y 7 divide a <math>4^n+2^n+1</math> cuando ''n'' no es divisible por 3 y a <math>2^n-1</math> cuando ''n'' es un múltiplo de 3.

=== Primos repitunos en base 9 ===

No existe ninguno. <math>9^n-1=\left(3^n+1\right)\left(3^n-1\right)</math>, y 2 siempre divide tanto a <math>3^n+1</math> como a <math>3^n-1</math>.

=== Primos repitunos en base 12 ===

Los primeros primos repitunos en base 12 son

: 13, 157, 22621, 29043636306420266077, 435700623537534460534556100566709740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941

que corresponden a los siguientes valores de <math>n</math>:
: 2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, ... {{OEIS|A004064}}

=== Primos repitunos en base 20 ===
Los únicos primos o [[Probable primo|probablemente primos]] repitunos en base 20 son los correspondientes a estos valores de <math>n</math>:
: 3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403 {{OEIS|A127995}}

Los tres primeros repitunos en base 20 primos escritos en expresión decimal son
: 421, 10778947368421 y 689852631578947368421

===Bases ''b'' tales que ''R<sub>p</sub>''(b) es primo para ''p'' primo===

La base más pequeña <math>b</math> para la que <math>R_p(b)</math> es primo (donde <math>p</math> es el primo <math>n</math>ésimo) figura a continuación

:2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12 , 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606 , 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, 13, 136, 220, 162, 35, 10, 218, 19, 26, 39, 12, 22, 67, 120, 195 , 48, 54, 463, 38, 41, 17, 808, 404, 46, 76, 793, 38, 28, 215, 37, 236, 59, 15, 514, 260, 498, 6, 2, 95, 3 , ... {{OEIS|id=A066180}}

La base más pequeña <math>b</math> tal que <math>R_p(-b)</math> es primo (donde <math>p</math> es el primo <math>n</math>ésimo) figura a continuación

:3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70 , 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5 , 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, 159, 10, 16, 209, 2, 16, 23, 273, 2, 460, 22, 3, 36, 28, 329 , 43, 69, 86, 271, 396, 28, 83, 302, 209, 11, 300, 159, 79, 31, 331, 52, 176, 3, 28, 217, 14, 410, 252, 718, 164 , ... {{OEIS|id=A103795}}

{|class="wikitable col1cen"
|<math>p</math>
|Bases <math>b</math> tales que <math>R_p(b)</math> es primo (solo se listan bases positivas)
|Secuencia [[OEIS]]
|-
|2
|2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, 306, 310, 312, 316, 330, 336, 346, 348, 352, 358, 366, 372, 378, 382, 388, 396, 400, 408, 418, 420, 430, 432, 438, 442, 448, 456, 460, 462, 466, 478, 486, 490, 498, 502, 508, 520, 522, 540, 546, 556, 562, 568, 570, 576, 586, 592, 598, 600, 606, 612, 616, 618, 630, 640, 642, 646, 652, 658, 660, 672, 676, 682, 690, 700, 708, 718, 726, 732, 738, 742, 750, 756, 760, 768, 772, 786, 796, 808, 810, 820, 822, 826, 828, 838, 852, 856, 858, 862, 876, 880, 882, 886, 906, 910, 918, 928, 936, 940, 946, 952, 966, 970, 976, 982, 990, 996, ...
|{{OEIS|id=A006093}}
|-
|3
|2, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111, 117, 119, 131, 138, 141, 143, 147, 150, 153, 155, 161, 162, 164, 167, 168, 173, 176, 188, 189, 192, 194, 203, 206, 209, 215, 218, 231, 236, 245, 246, 266, 272, 278, 279, 287, 288, 290, 293, 309, 314, 329, 332, 336, 342, 344, 348, 351, 357, 369, 378, 381, 383, 392, 395, 398, 402, 404, 405, 414, 416, 426, 434, 435, 447, 453, 455, 456, 476, 489, 495, 500, 512, 518, 525, 530, 531, 533, 537, 540, 551, 554, 560, 566, 567, 572, 579, 582, 584, 603, 605, 609, 612, 621, 624, 626, 635, 642, 644, 668, 671, 677, 686, 696, 701, 720, 726, 728, 735, 743, 747, 755, 761, 762, 768, 773, 782, 785, 792, 798, 801, 812, 818, 819, 825, 827, 836, 839, 846, 855, 857, 860, 864, 875, 878, 890, 894, 897, 899, 911, 915, 918, 920, 927, 950, 959, 960, 969, 974, 981, 987, 990, 992, 993, ...
|{{OEIS|id=A002384}}
|-
|5
|2, 7, 12, 13, 17, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 40, 43, 44, 50, 62, 63, 68, 73, 74, 77, 79, 83, 85, 94, 99, 110, 117, 118, 120, 122, 127, 129, 134, 143, 145, 154, 162, 164, 165, 172, 175, 177, 193, 198, 204, 208, 222, 227, 239, 249, 254, 255, 260, 263, 265, 274, 275, 277, 285, 288, 292, 304, 308, 327, 337, 340, 352, 359, 369, 373, 393, 397, 408, 414, 417, 418, 437, 439, 448, 457, 459, 474, 479, 490, 492, 495, 503, 505, 514, 519, 528, 530, 538, 539, 540, 550, 557, 563, 567, 568, 572, 579, 594, 604, 617, 637, 645, 650, 662, 679, 694, 699, 714, 728, 745, 750, 765, 770, 772, 793, 804, 805, 824, 837, 854, 860, 864, 868, 880, 890, 919, 942, 954, 967, 968, 974, 979, ...
|{{OEIS|id=A049409}}
|-
|7
|2, 3, 5, 6, 13, 14, 17, 26, 31, 38, 40, 46, 56, 60, 61, 66, 68, 72, 73, 80, 87, 89, 93, 95, 115, 122, 126, 128, 146, 149, 156, 158, 160, 163, 180, 186, 192, 203, 206, 208, 220, 221, 235, 237, 238, 251, 264, 266, 280, 282, 290, 294, 300, 303, 320, 341, 349, 350, 353, 363, 381, 395, 399, 404, 405, 417, 418, 436, 438, 447, 450, 461, 464, 466, 478, 523, 531, 539, 548, 560, 583, 584, 591, 599, 609, 611, 622, 646, 647, 655, 657, 660, 681, 698, 700, 710, 717, 734, 760, 765, 776, 798, 800, 802, 805, 822, 842, 856, 863, 870, 878, 899, 912, 913, 926, 927, 931, 940, 941, 942, 947, 959, 984, 998, ...
|{{OEIS|id=A100330}}
|-
|11
|5, 17, 20, 21, 30, 53, 60, 86, 137, 172, 195, 212, 224, 229, 258, 268, 272, 319, 339, 355, 365, 366, 389, 390, 398, 414, 467, 480, 504, 534, 539, 543, 567, 592, 619, 626, 654, 709, 735, 756, 766, 770, 778, 787, 806, 812, 874, 943, 973, ...
|{{OEIS|id=A162862}}
|-
|13
|2, 3, 5, 7, 34, 37, 43, 59, 72, 94, 98, 110, 133, 149, 151, 159, 190, 207, 219, 221, 251, 260, 264, 267, 282, 286, 291, 319, 355, 363, 373, 382, 397, 398, 402, 406, 408, 412, 436, 442, 486, 489, 507, 542, 544, 552, 553, 582, 585, 592, 603, 610, 614, 634, 643, 645, 689, 708, 720, 730, 744, 769, 772, 806, 851, 853, 862, 882, 912, 928, 930, 952, 968, 993, ...
|{{OEIS|id=A217070}}
|-
|17
|2, 11, 20, 21, 28, 31, 55, 57, 62, 84, 87, 97, 107, 109, 129, 147, 149, 157, 160, 170, 181, 189, 191, 207, 241, 247, 251, 274, 295, 297, 315, 327, 335, 349, 351, 355, 364, 365, 368, 379, 383, 410, 419, 423, 431, 436, 438, 466, 472, 506, 513, 527, 557, 571, 597, 599, 614, 637, 653, 656, 688, 708, 709, 720, 740, 762, 835, 836, 874, 974, 976, 980, 982, 986, ...
|{{OEIS|id=A217071}}
|-
|19
|2, 10, 11, 12, 14, 19, 24, 40, 45, 46, 48, 65, 66, 67, 75, 85, 90, 103, 105, 117, 119, 137, 147, 164, 167, 179, 181, 205, 220, 235, 242, 253, 254, 263, 268, 277, 303, 315, 332, 337, 366, 369, 370, 389, 399, 404, 424, 431, 446, 449, 480, 481, 506, 509, 521, 523, 531, 547, 567, 573, 581, 622, 646, 651, 673, 736, 768, 787, 797, 807, 810, 811, 817, 840, 846, 857, 867, 869, 870, 888, 899, 902, 971, 988, 990, 992, ...
|{{OEIS|id=A217072}}
|-
|23
|10, 40, 82, 113, 127, 141, 170, 257, 275, 287, 295, 315, 344, 373, 442, 468, 609, 634, 646, 663, 671, 710, 819, 834, 857, 884, 894, 904, 992, 997, ...
|{{OEIS|id=A217073}}
|-
|29
|6, 40, 65, 70, 114, 151, 221, 229, 268, 283, 398, 451, 460, 519, 554, 587, 627, 628, 659, 687, 699, 859, 884, 915, 943, 974, 986, ...
|{{OEIS|id=A217074}}
|-
|31
|2, 14, 19, 31, 44, 53, 71, 82, 117, 127, 131, 145, 177, 197, 203, 241, 258, 261, 276, 283, 293, 320, 325, 379, 387, 388, 406, 413, 461, 462, 470, 486, 491, 534, 549, 569, 582, 612, 618, 639, 696, 706, 723, 746, 765, 767, 774, 796, 802, 877, 878, 903, 923, 981, 991, 998, ...
|{{OEIS|id=A217075}}
|-
|37
|61, 77, 94, 97, 99, 113, 126, 130, 134, 147, 161, 172, 187, 202, 208, 246, 261, 273, 285, 302, 320, 432, 444, 503, 523, 525, 563, 666, 680, 709, 740, 757, 787, 902, 962, 964, 969, ...
|{{OEIS|id=A217076}}
|-
|41
|14, 53, 55, 58, 71, 76, 82, 211, 248, 271, 296, 316, 430, 433, 439, 472, 545, 553, 555, 596, 663, 677, 682, 746, 814, 832, 885, 926, 947, 959, ...
|{{OEIS|id=A217077}}
|-
|43
|15, 21, 26, 86, 89, 114, 123, 163, 180, 310, 332, 377, 409, 438, 448, 457, 477, 526, 534, 556, 586, 612, 653, 665, 690, 692, 709, 760, 783, 803, 821, 848, 877, 899, 909, 942, 981, ...
|{{OEIS|id=A217078}}
|-
|47
|5, 17, 19, 55, 62, 75, 89, 98, 99, 132, 172, 186, 197, 220, 268, 278, 279, 288, 439, 443, 496, 579, 583, 587, 742, 777, 825, 911, 966, ...
|{{OEIS|id=A217079}}
|-
|53
|24, 45, 60, 165, 235, 272, 285, 298, 307, 381, 416, 429, 623, 799, 858, 924, 929, 936, ...
|{{OEIS|id=A217080}}
|-
|59
|19, 70, 102, 116, 126, 188, 209, 257, 294, 359, 451, 461, 468, 470, 638, 653, 710, 762, 766, 781, 824, 901, 939, 964, 995, ...
|{{OEIS|id=A217081}}
|-
|61
|2, 19, 69, 88, 138, 155, 205, 234, 336, 420, 425, 455, 470, 525, 555, 561, 608, 626, 667, 674, 766, 779, 846, 851, 937, 971, 998, ...
|{{OEIS|id=A217082}}
|-
|67
|46, 122, 238, 304, 314, 315, 328, 332, 346, 372, 382, 426, 440, 491, 496, 510, 524, 528, 566, 638, 733, 826, ...
|{{OEIS|id=A217083}}
|-
|71
|3, 6, 17, 24, 37, 89, 132, 374, 387, 402, 421, 435, 453, 464, 490, 516, 708, 736, 919, 947, 981, ...
|{{OEIS|id=A217084}}
|-
|73
|11, 15, 75, 114, 195, 215, 295, 335, 378, 559, 566, 650, 660, 832, 871, 904, 966, ...
|{{OEIS|id=A217085}}
|-
|79
|22, 112, 140, 158, 170, 254, 271, 330, 334, 354, 390, 483, 528, 560, 565, 714, 850, 888, 924, 929, 933, 935, 970, ...
|{{OEIS|id=A217086}}
|-
|83
|41, 146, 386, 593, 667, 688, 906, 927, 930, ...
|{{OEIS|id=A217087}}
|-
|89
|2, 114, 159, 190, 234, 251, 436, 616, 834, 878, ...
|{{OEIS|id=A217088}}
|-
|97
|12, 90, 104, 234, 271, 339, 420, 421, 428, 429, 464, 805, 909, 934, ...
|{{OEIS|id=A217089}}
|-
|101
|22, 78, 164, 302, 332, 359, 387, 428, 456, 564, 617, 697, 703, 704, 785, 831, 979, ...
|
|-
|103
|3, 52, 345, 392, 421, 472, 584, 617, 633, 761, 767, 775, 785, 839, ...
|
|-
|107
|2, 19, 61, 68, 112, 157, 219, 349, 677, 692, 700, 809, 823, 867, 999, ...
|
|-
|109
|12, 57, 72, 79, 89, 129, 158, 165, 239, 240, 260, 277, 313, 342, 421, 445, 577, 945, ...
|
|-
|113
|86, 233, 266, 299, 334, 492, 592, 641, 656, 719, 946, ...
|
|-
|127
|2, 5, 6, 47, 50, 126, 151, 226, 250, 401, 427, 473, 477, 486, 497, 585, 624, 644, 678, 685, 687, 758, 896, 897, 936, ...
|
|-
|131
|7, 493, 567, 591, 593, 613, 764, 883, 899, 919, 953, ...
|
|-
|137
|13, 166, 213, 355, 586, 669, 707, 768, 833, ...
|
|-
|139
|11, 50, 221, 415, 521, 577, 580, 668, 717, 720, 738, 902, ...
|
|-
|149
|5, 7, 68, 79, 106, 260, 319, 502, 550, 779, 855, ...
|
|-
|151
|29, 55, 57, 160, 176, 222, 255, 364, 427, 439, 642, 660, 697, 863, ...
|
|-
|157
|56, 71, 76, 181, 190, 317, 338, 413, 426, 609, 694, 794, 797, 960, ...
|
|-
|163
|30, 62, 118, 139, 147, 291, 456, 755, 834, 888, 902, 924, ...
|
|-
|167
|44, 45, 127, 175, 182, 403, 449, 453, 476, 571, 582, 700, 749, 764, 929, 957, ...
|
|-
|173
|60, 62, 139, 141, 303, 313, 368, 425, 542, 663, ...
|
|-
|179
|304, 478, 586, 942, 952, 975, ...
|
|-
|181
|5, 37, 171, 427, 509, 571, 618, 665, 671, 786, ...
|
|-
|191
|74, 214, 416, 477, 595, 664, 699, 712, 743, 924, ...
|
|-
|193
|118, 301, 486, 554, 637, 673, 736, ...
|
|-
|197
|33, 236, 248, 262, 335, 363, 388, 593, 763, 813, ...
|
|-
|199
|156, 362, 383, 401, 442, 630, 645, 689, 740, 921, 936, 944, 983, 988, ...
|
|-
|211
|46, 57, 354, 478, 539, 581, 653, 829, 835, 977, ...
|
|-
|223
|183, 186, 219, 221, 661, 749, 905, 914, ...
|
|-
|227
|72, 136, 235, 240, 251, 322, 350, 500, 523, 556, 577, 671, 688, 743, 967, ...
|
|-
|229
|606, 725, 754, 858, 950, ...
|
|-
|233
|602, ...
|
|-
|239
|223, 260, 367, 474, 564, 862, ...
|
|-
|241
|115, 163, 223, 265, 270, 330, 689, 849, ...
|
|-
|251
|37, 246, 267, 618, 933, ...
|
|-
|257
|52, 78, 435, 459, 658, 709, ...
|
|-
|263
|104, 131, 161, 476, 494, 563, 735, 842, 909, 987, ...
|
|-
|269
|41, 48, 294, 493, 520, 812, 843, ...
|
|-
|271
|6, 21, 186, 201, 222, 240, 586, 622, 624, ...
|
|-
|277
|338, 473, 637, 940, 941, 978, ...
|
|-
|281
|217, 446, 606, 618, 790, 864, ...
|
|-
|283
|13, 197, 254, 288, 323, 374, 404, 943, ...
|
|-
|293
|136, 388, 471, ...
|
|}

===Lista de números primos repitunos base ''b''===
El primo más pequeño <math>p>2</math> tal que <math>R_p(b)</math> es primo figura en la lista siguiente (comenzando con <math>b=2</math>, 0 si tal <math>p</math> no existe)

:3, 3, 0, 3, 3, 5, 3, 0, 19, 17, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 25667, 19, 3, 3, 5, 5, 3, 0, 7, 3, 5, 5, 5, 7, 0, 3, 13, 313, 0, 13, 3, 349, 5, 3, 1319, 5, 5, 19, 7, 127, 19, 0, 3, 4229, 103, 11, 3, 17, 7, 3, 41, 3, 7, 7, 3, 5, 0, 19, 3, 19, 5, 3, 29, 3, 7, 5, 5, 3, 41, 3, 3, 5, 3, 0, 23, 5, 17, 5, 11, 7, 61, 3, 3, 4421, 439, 7, 5, 7, 3343, 17, 13, 3, 0, ... {{OEIS|id=A128164}}

El primo más pequeño <math>p > 2</math> tal que <math>R_p(-b)</math> es primo figura en la lista siguiente (comienza con <math>b=2</math>, 0 si no existe tal <math>p</math>, signo de interrogación si este término es actualmente desconocido)

:3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, 7, 13, 5, 3, 37, 3, 3, 5, 3, 293, 19, 7, 167, 7, 7, 709, 13, 3, 3, 37, 89, 71, 43, 37, ?, 19, 7, 3, ... {{OEIS|id=A084742}}

{|class="wikitable col1cen"
|<math>b</math>
|Números <math>n</math> tales que <math>R_n(b)</math> es primo (algunos términos grandes solo corresponden a [[probable primo|probables primos]], estos <math>n</math> se han comprobado hasta 100000)
|Secuencia [[OEIS]]
|-
|−50
|1153, 26903, 56597, ...
|{{OEIS|id=A309413}}
|-
|−49
|7, 19, 37, 83, 1481, 12527, 20149, ...
|{{OEIS|id=A237052}}
|-
|−48
|2<sup>*</sup>, 5, 17, 131, 84589, ...
|{{OEIS|id=A236530}}
|-
|−47
|5, 19, 23, 79, 1783, 7681, ...
|{{OEIS|id=A236167}}
|-
|−46
|7, 23, 59, 71, 107, 223, 331, 2207, 6841, 94841, ...
|{{OEIS|id=A235683}}
|-
|−45
|103, 157, 37159, ...
|{{OEIS|id=A309412}}
|-
|−44
|2<sup>*</sup>, 7, 41233, ...
|{{OEIS|id=A309411}}
|-
|−43
|5, 7, 19, 251, 277, 383, 503, 3019, 4517, 9967, 29573, ...
|{{OEIS|id=A231865}}
|-
|−42
|2<sup>*</sup>, 3, 709, 1637, 17911, 127609, 172663, ...
|{{OEIS|id=A231604}}
|-
|−41
|17, 691, 113749, ...
|{{OEIS|id=A309410}}
|-
|−40
|53, 67, 1217, 5867, 6143, 11681, 29959, ...
|{{OEIS|id=A229663}}
|-
|−39
|3, 13, 149, 15377, ...
|{{OEIS|id=A230036}}
|-
|−38
|2<sup>*</sup>, 5, 167, 1063, 1597, 2749, 3373, 13691, 83891, 131591, ...
|{{OEIS|id=A229524}}
|-
|−37
|5, 7, 2707, 163193, ...
|{{OEIS|id=A309409}}
|-
|−36
|31, 191, 257, 367, 3061, 110503, ...
|{{OEIS|id=A229145}}
|-
|−35
|11, 13, 79, 127, 503, 617, 709, 857, 1499, 3823, 135623, ...
|{{OEIS|id=A185240}}
|-
|−34
|3, 294277, ...
|
|-
|−33
|5, 67, 157, 12211, 313553, ...
|{{OEIS|id=A185230}}
|-
|−32
|2<sup>*</sup> (no otros)
|
|-
|−31
|109, 461, 1061, 50777, ...
|{{OEIS|id=A126856}}
|-
|−30
|2<sup>*</sup>, 139, 173, 547, 829, 2087, 2719, 3109, 10159, 56543, 80599, ...
|{{OEIS|id=A071382}}
|-
|−29
|7, 112153, 151153, ...
|{{OEIS|id=A291906}}
|-
|−28
|3, 19, 373, 419, 491, 1031, 83497, ...
|{{OEIS|id=A071381}}
|-
|−27
|(ninguno)
|
|-
|−26
|11, 109, 227, 277, 347, 857, 2297, 9043, ...
|{{OEIS|id=A071380}}
|-
|−25
|3, 7, 23, 29, 59, 1249, 1709, 1823, 1931, 3433, 8863, 43201, 78707, ...
|{{OEIS|id=A057191}}
|-
|−24
|2<sup>*</sup>, 7, 11, 19, 2207, 2477, 4951, ...
|{{OEIS|id=A057190}}
|-
|−23
|11, 13, 67, 109, 331, 587, 24071, 29881, 44053, ...
|{{OEIS|id=A057189}}
|-
|−22
|3, 5, 13, 43, 79, 101, 107, 227, 353, 7393, 50287, ...
|{{OEIS|id=A057188}}
|-
|−21
|3, 5, 7, 13, 37, 347, 17597, 59183, 80761, 210599, 394579, ...
|{{OEIS|id=A057187}}
|-
|−20
|2<sup>*</sup>, 5, 79, 89, 709, 797, 1163, 6971, 140053, 177967, 393257, ...
|{{OEIS|id=A057186}}
|-
|−19
|17, 37, 157, 163, 631, 7351, 26183, 30713, 41201, 77951, 476929, ...
|{{OEIS|id=A057185}}
|-
|−18
|2<sup>*</sup>, 3, 7, 23, 73, 733, 941, 1097, 1933, 4651, 481147, ...
|{{OEIS|id=A057184}}
|-
|−17
|7, 17, 23, 47, 967, 6653, 8297, 41221, 113621, 233689, 348259, ...
|{{OEIS|id=A057183}}
|-
|−16
|3, 5, 7, 23, 37, 89, 149, 173, 251, 307, 317, 30197, 1025393, ...
|{{OEIS|id=A057182}}
|-
|−15
|3, 7, 29, 1091, 2423, 54449, 67489, 551927, ...
|{{OEIS|id=A057181}}
|-
|−14
|2<sup>*</sup>, 7, 53, 503, 1229, 22637, 1091401, ...
|{{OEIS|id=A057180}}
|-
|−13
|3, 11, 17, 19, 919, 1151, 2791, 9323, 56333, 1199467, ...
|{{OEIS|id=A057179}}
|-
|−12
|2<sup>*</sup>, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, 495953, ...
|{{OEIS|id=A057178}}
|-
|−11
|5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, 2264611...
|{{OEIS|id=A057177}}
|-
|−10
|5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, 1600787, ...
|{{OEIS|id=A001562}}
|-
|−9
|3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, 860029, ...
|{{OEIS|id=A057175}}
|-
|−8
|2<sup>*</sup> (no otros)
|
|-
|−7
|3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, 1178033, ...
|{{OEIS|id=A057173}}
|-
|−6
|2<sup>*</sup>, 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, 1313371, ...
|{{OEIS|id=A057172}}
|-
|−5
|5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, 1856147, ...
|{{OEIS|id=A057171}}
|-
|−4
|2<sup>*</sup>, 3 (no otros)
|
|-
|−3
|2<sup>*</sup>, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459, 1896463, 2533963, ...
|{{OEIS|id=A007658}}
|-
|−2
|3, 4<sup>*</sup>, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, 15135397, ...
|{{OEIS|id=A000978}}
|-
|2
|2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, ..., 74207281, ..., 77232917, ..., 82589933, ...
|{{OEIS|id=A000043}}
|-
|3
|3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, 3598867, ...
|{{OEIS|id=A028491}}
|-
|4
|2 (no otros)
|
|-
|5
|3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, 3300593, ...
|{{OEIS|id=A004061}}
|-
|6
|2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, 1365019, ...
|{{OEIS|id=A004062}}
|-
|7
|5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...
|{{OEIS|id=A004063}}
|-
|8
|3 (no otros)
|
|-
|9
|(ninguno)
|
|-
|10
|2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ..., 5794777, ...
|{{OEIS|id=A004023}}
|-
|11
|17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ...
|{{OEIS|id=A005808}}
|-
|12
|2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...
|{{OEIS|id=A004064}}
|-
|13
|5, 7, 137, 283, 883, 991, 1021, 1193, 3671, 18743, 31751, 101089, 1503503, ...
|{{OEIS|id=A016054}}
|-
|14
|3, 7, 19, 31, 41, 2687, 19697, 59693, 67421, 441697, ...
|{{OEIS|id=A006032}}
|-
|15
|3, 43, 73, 487, 2579, 8741, 37441, 89009, 505117, 639833, ...
|{{OEIS|id=A006033}}
|-
|16
|2 (no otros)
|
|-
|17
|3, 5, 7, 11, 47, 71, 419, 4799, 35149, 54919, 74509, 1990523, ...
|{{OEIS|id=A006034}}
|-
|18
|2, 25667, 28807, 142031, 157051, 180181, 414269, ...
|{{OEIS|id=A133857}}
|-
|19
|19, 31, 47, 59, 61, 107, 337, 1061, 9511, 22051, 209359, ...
|{{OEIS|id=A006035}}
|-
|20
|3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403, 472709, 984349, ...
|{{OEIS|id=A127995}}
|-
|21
|3, 11, 17, 43, 271, 156217, 328129, ...
|{{OEIS|id=A127996}}
|-
|22
|2, 5, 79, 101, 359, 857, 4463, 9029, 27823, ...
|{{OEIS|id=A127997}}
|-
|23
|5, 3181, 61441, 91943, 121949, ...
|{{OEIS|id=A204940}}
|-
|24
|3, 5, 19, 53, 71, 653, 661, 10343, 49307, 115597, 152783, ...
|{{OEIS|id=A127998}}
|-
|25
|(ninguno)
|
|-
|26
|7, 43, 347, 12421, 12473, 26717, ...
|{{OEIS|id=A127999}}
|-
|27
|3 (no otros)
|
|-
|28
|2, 5, 17, 457, 1423, 115877, ...
|{{OEIS|id=A128000}}
|-
|29
|5, 151, 3719, 49211, 77237, ...
|{{OEIS|id=A181979}}
|-
|30
|2, 5, 11, 163, 569, 1789, 8447, 72871, 78857, 82883, ...
|{{OEIS|id=A098438}}
|-
|31
|7, 17, 31, 5581, 9973, 101111, 535571, ...
|{{OEIS|id=A128002}}
|-
|32
|(ninguno)
|
|-
|33
|3, 197, 3581, 6871, 183661, ...
|{{OEIS|id=A209120}}
|-
|34
|13, 1493, 5851, 6379, 125101, ...
|{{OEIS|id=A185073}}
|-
|35
|313, 1297, 568453,<ref name="TOPPRP">{{cite web|url=http://www.primenumbers.net/prptop/prptop.php|title=PRP Records — Probable Primes Top 10000|publisher=primenumbers.net|last1=Lifchitz|first1=Henri|last2=Lifchitz|first2=Renaud}}</ref> ...
|
|-
|36
|2 (no otros)
|
|-
|37
|13, 71, 181, 251, 463, 521, 7321, 36473, 48157, 87421, 168527, 249341, ...
|{{OEIS|id=A128003}}
|-
|38
|3, 7, 401, 449, 109037, ...
|{{OEIS|id=A128004}}
|-
|39
|349, 631, 4493, 16633, 36341, ...
|{{OEIS|id=A181987}}
|-
|40
|2, 5, 7, 19, 23, 29, 541, 751, 1277, ...
|{{OEIS|id=A128005}}
|-
|41
|3, 83, 269, 409, 1759, 11731, ...
|{{OEIS|id=A239637}}
|-
|42
|2, 1319, 337081,<ref name="TOPPRP"/> ...
|
|-
|43
|5, 13, 6277, 26777, 27299, 40031, 44773, ...
|{{OEIS|id=A240765}}
|-
|44
|5, 31, 167, 100511, ...
|{{OEIS|id=A294722}}
|-
|45
|19, 53, 167, 3319, 11257, 34351, 216551, ...
|{{OEIS|id=A242797}}
|-
|46
|2, 7, 19, 67, 211, 433, 2437, 2719, 19531, ...
|{{OEIS|id=A243279}}
|-
|47
|127, 18013, 39623, ...
|{{OEIS|id=A267375}}
|-
|48
|19, 269, 349, 383, 1303, 15031, 200443, ...
|{{OEIS|id=A245237}}
|-
|49
|(ninguno)
|
|-
|50
|3, 5, 127, 139, 347, 661, 2203, 6521, 210319, ...
|{{OEIS|id=A245442}}
|}
<sup>*</sup> Los repitunos con base negativa y ''n'' par son negativos. Si su [[valor absoluto]] es primo, se incluyen arriba y se marcan con un asterisco. No están incluidos en las secuencias OEIS correspondientes.

Para más información, véase.<ref>[http://www.primenumbers.net/Henri/us/MersFermus.htm Repitunos primos en bases −50 a 50]</ref><ref>{{Cita web |url=http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/GenRepu |título=Repitunos primos en bases 2 a 160 |fechaacceso=19 de septiembre de 2022 |fechaarchivo=20 de septiembre de 2022 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20220920174153/http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/GenRepu |deadurl=yes }}</ref><ref>{{Cita web |url=http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/GenRepuP |título=Repitunos primos en bases −160 a −2 |fechaacceso=19 de septiembre de 2022 |fechaarchivo=20 de septiembre de 2022 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20220920173031/http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/GenRepuP |deadurl=yes }}</ref><ref>[https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL3/DUBNER/dubner.pdf Repitunos primos en bases −200 a −2]</ref>

===Factorización algebraica de números repitunos generalizados===
Si ''b'' es una [[potencia perfecta]] (puede escribirse como ''m''<sup>''n''</sup>, con ''m'', ''n'' enteros, ''n'' > 1) difiere de 1, entonces hay como mucho una repituno en base-''b''. Si ''n'' es una [[potencia prima]] (puede escribirse como ''p''<sup>''r''</sup>, con ''p'' primo, ''r'' entero; y además ''p'' y ''r'' > 0) , entonces todos los repitunos en base -''b'' no son primos aparte de ''R<sub>p</sub>'' y ''R<sub>2</sub>''. ''R<sub>p</sub>'' puede ser primo o compuesto. Ejemplos del primer caso (''b''= −216, −128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256, etc.,) y ejemplos del segundo (''b''= −243, −125, −64, −32, −27, −8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243 , 289, etc.,). ''R<sub>2</sub>'' puede ser primo (cuando ''p'' difiere de 2) solo si ''b'' es negativo, una potencia de −2, por ejemplo, ''b'' = −8, −32, −128, −8192, etc. De hecho, el ''R<sub>2</sub>'' también puede ser compuesto, por ejemplo, ''b''= −512, −2048, −32768, etc. Si ''n'' no es una potencia prima, entonces no existe base -''b'' que sea un repituno primo, por ejemplo, ''b''= 64, 729 (con ''n''= 6), '' b''= 1024 (con ''n''= 10), y ''b''= −1 o 0 (con ''n'' cualquier [[número natural]]). Otra situación especial es ''b''= −4''k''<sup>4</sup>, con ''k'' entero positivo, que tiene la [[factorización aurifeuilleana]], por ejemplo, ''b''= −4 (con ''k''= 1, entonces ''R<sub>2</sub>'' y ''R<sub>3</sub>'' son primos), y ''b''= −64, −324, −1024, −2500, −5184, ... (con ''k ''= 2, 3, 4, 5, 6, ...), entonces no existe ningún primo repituno en base -''b''. También se conjetura que cuando ''b'' no es una potencia perfecta ni −4''k''<sup>4</sup> con ''k'' entero positivo, entonces hay infinitos números primos repitunos de base -''b''.

===La conjetura generalizada del repituno===

Una conjetura relacionada con los primos repituno generalizados:<ref>[http://primes.utm.edu/mersenne/heuristic.html Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture]</ref><ref>[https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0906&L=NMBRTHRY&P=R295&1=NMBRTHRY&9=A&J=on&d=No+Match%3BMatch%3BMatches&z=4 Generalized repituno Conjecture]</ref> (la conjetura predice dónde está el próximo primo de Mersenne generalizado, si la conjetura es verdadera, entonces hay infinitos primos repitunos para todas las bases <math>b</math>)

Para cualquier número entero <math>b</math>, que satisfaga las condiciones:

#<math>|b|>1</math>.
# <math>b</math> no es un [[potencia perfecta]] (dado que cuando <math>b</math> es una potencia perfecta de <math>r</math>, se puede demostrar que hay como máximo un valor de <math>n</math> tal que <math>\frac{b^n-1}{b-1}</math> es primo, y este valor de <math>n</math> es el mismo <math>r</math> o una [[Radicación|raíz]] de <math>r</math>)
# <math>b</math> no tiene el formato <math>-4k^4</math> (si es así, entonces el número tiene [[factorización aurifeuilleana]])

tiene números primos repitunos generalizados de la forma

:<math>R_p(b)=\frac{b^p-1}{b-1}</math>

para <math>p</math> primo, los números primos se distribuirán cerca de la línea de mejor ajuste

:<math>
Y=G \cdot \log_{|b|}\left( \log_{|b|}\left( R_{(b)}(n) \right) \right)+C,
</math>

donde el límite <math>n\rightarrow\infty</math>, <math>G=\frac{1}{e^\gamma}=0.561459483566...</math>

y hay alrededor de

:<math>
\left( \log_e(N)+m \cdot \log_e(2) \cdot \log_e \big( \log_e(N) \big)
+\frac{1}{\sqrt N}-\delta \right) \cdot \frac{e^\gamma}{\log_e(|b|)}
</math>

repitunos primos en base-''b'' menos que ''N''.

*<math>e</math> es la [[Número e|base de los logaritmos naturales]].
*<math>\gamma</math> es la [[constante de Euler-Mascheroni]].
*<math>\log_{|b|}</math> es el [[logaritmo]] en [[base (exponenciación)|base]] <math>|b|</math>
*<math>R_{(b)}(n)</math> es el primo de repetición generalizado <math>n</math> en base ''b'' (con primo ''p'')
*<math>C</math> es una constante de ajuste de datos que varía con <math>b</math>.
*<math>\delta=1</math> si <math>b>0</math>, <math>\delta=1.6</math> si <math>b<0</math>.
*<math>m</math> es el mayor número natural tal que <math>-b</math> es una <math>2^{m-1}</math>ésima potencia.

También se tienen las siguientes 3 propiedades:

# El número de números primos de la forma <math>\frac{b^n-1}{b-1}</math> (con <math>p</math> primo) menores o iguales a <math>n</math> es aproximadamente <math>e^\gamma \cdot \log_{|b|}\big(\log_{|b|}(n)\big)</math>.
# El número esperado de números primos de la forma <math>\frac{b^n-1}{b-1}</math> con el primo <math>p</math> entre <math>n</math> y <math>|b|\cdot n</math> es aproximadamente <math>e^\gamma</math>.
# La probabilidad de que un número de la forma <math>\frac{b^n-1}{b-1}</math> sea primo (para primos <math>p</math>) es de <math>\frac{e^\gamma}{p \cdot \log_e(|b|)}</math>.

== Historia ==
Aunque todavía no se conocían por ese nombre, los repitunos en base 10 fueron estudiados por muchos matemáticos durante el {{siglo|XIX||s}} en un esfuerzo de desarrollar y predecir el modelo cíclico de los [[Número periódico|decimales periódicos]].<ref>Dickson, Leonard Eugene and Cresse, G.H.; ''History of the Theory of Numbers''; pp. 164-167 ISBN 0-8218-1934-8</ref>

Desde muy temprano se encontró que para cualquier primo ''p'' mayor que 5, el [[Número periódico|período]] de la expansión decimal de 1/''p'' es igual a la longitud del número repìtuno más pequeño que es divisible por ''p''. Hacia 1860 se habían publicado tablas de los periodos de los recíprocos de los primos hasta 60000 que permitieron la [[factorización]] por matemáticos como Reuschle de todos los repitunos hasta R<sub>16</sub> y algunos más grandes. Hacia 1880, incluso R<sub>17</sub> se había factorizado<ref>Ibid</ref> y es curioso que, aunque [[Édouard Lucas]] demostró que (el inverso de) ningún primo inferior a tres millones tenía período diecinueve, no hubo ningún intento de comprobar la primalidad de un repituno hasta comienzos del {{siglo|XX||s}}. El matemático norteamericano [[Oscar Hoppe]] probó que R<sub>19</sub> es primo en 1916<ref>Francis, Richard L.; "Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers" in The College Mathematics Journal, Vol. 19, No. 3. (May, 1988), pp. 240-246.</ref> y Lehmer y Kraitchik, de forma independiente, hallaron que R<sub>23</sub> es primo en 1929.

No se registran ulteriores avances en el estudio de los repitunos hasta los años 1960, cuando las computadoras permitieron hallar muchos factores nuevos de repitunos y corregir los vacíos en las tablas anteriores de períodos de primos. Se encontró por los años 60 que R<sub>317</sub> era un [[probable primo]] y se demostró 11 años más tarde, cuando se demostró que R<sub>1031</sub> era el único posible primo repituno que quedaba con menos de 10000 dígitos. Se demostró que era primo en 1986, pero la búsqueda de primos repitunos adicionales en las siguientes décadas falló repetidamente. Sin embargo, hubo un desarrollo importante en el campo de los repitunos generalizados, lo que produjo un gran número de primos nuevos y probables primos.

Desde 1999, se han hallado cuatro posibles primos repitunos, pero es improbable que pueda probarse el carácter primo de cualquiera de ellos en un futuro previsible por su enorme tamaño.

El [[Proyecto de Cunningham]] es un esfuerzo por documentar las factorizaciones de (entre otros números) de los repitunos en las bases 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, y 12.

==Números Demlo==
[[Dattatreya Ramachandra Kaprekar]] ha definido los números Demlo como la [[concatenación]] de una parte izquierda, media y derecha, donde la parte izquierda y derecha deben tener la misma longitud (hasta un posible cero a la izquierda) con forma de número repituno, y el de la parte central puede contener cualquier número adicional de este dígito repetido.<ref>{{harv|nb|last=Kaprekar|year1=1938a|year2=1938b}},{{Harvnb|Gunjikar|Kaprekar|1939}}</ref>

Llevan el nombre de la estación de tren de [[Demlo]] (ahora llamada Dombivili), situada a 30 millas de Bombay en el entonces [[Great Indian Peninsula Railway]], donde Kaprekar comenzó a investigarlos.

Llama ''maravillosos números de Demlo'' a los de la forma 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. El hecho de que estos números sean los cuadrados de los repitunos ha llevado a algunos autores a llamar números de Demlo a la secuencia infinita de estos,<ref>{{MathWorld|title= Demlo Number|urlname=DemloNumber|ref=none}}</ref> 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., {{OEIS|id=A002477}}, aunque se puede comprobar que no son números Demlo para ''p'' = 10, 19, 28, ...

== Véase también ==
* [[Repdigit]]
* [[Matemática recreativa]]
* [[Número periódico]]
* [[polinomio todo en uno]] - otra generalización
* [[Números de la forma: 100...001]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
=== Sitios web ===
* [http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/third/pmain901 The main tables] of the [http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/ Cunningham project].
* {{Prime Pages|id=Repunit|título=Repunit}}
* [http://www.worldofnumbers.com/repunits.htm Repunits and their prime factors] at [http://www.worldofnumbers.com World!Of Numbers].
=== Libros ===
* S. Yates, ''Repunits and repetends''. ISBN 0-9608652-0-9.
* A. Beiler, ''Recreations in the theory of numbers''. ISBN 0-486-21096-0. Chapter 11, of course.
* [[Paulo Ribenboim]], ''The New Book Of Prime Number Records''. ISBN 0-387-94457-5

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Sucesiones de enteros dependientes de la base]]