Edición de «Primorial»

[[Imagen:Primorial n plot.png|thumb|right|300px|Esquema del primorial.]]
El '''primorial''' de un número ''n'' se define como<ref name="mathworld">{{Mathworld | urlname=Primorial | title=Primorial}}</ref><ref name="OEIS A002110">{{OEIS|id=A002110}}</ref> el producto de todos los números primos menores o iguales a él, y se indica como ''n''#.

Los '''primoriales''' son números definidos en la demostración de la [[infinitud de los números primos]] de Euclides.

La demostración consiste en suponer un [[conjunto finito]] de [[número primo|números primos]]. Si se toma el producto de todos ellos y se añade uno, ese número debe ser un número primo ya que no es divisible por ninguno de los primos del producto de primos considerado, y obviamente no está en el conjunto considerado, o sea que es un nuevo número primo. Esto es una contradicción, de modo que, aplicando el principio de reducción al absurdo, concluimos que el conjunto inicial no puede ser finito

==Definición==
Para un [[número natural]] <math>n</math>, su ''factorial primo'' <math>n\#</math> se define como el [[Multiplicación|producto]] de todos los números primos menores o iguales a <math>n</math>:

:<math> n\# = \prod_{p \ \mathrm{prim}}^{p\,\leq\,n} \!\! p </math>

o también como el ''primorial'' del número primo inmediatamente inferior, <math>p_k\#</math>:

:<math> p_k\# = \prod_{i=1}^{k} p_i </math>.

Ambas definiciones, diferentes pero consistentes entre sí, son fáciles de diferenciar por su notación matemática, pero no siempre se distinguen por el nombre dado a la función (tendiendo a hablarse indistintamente de ''factorial primo'' y de ''primorial'').

:<math> \qquad\quad 7\#  = \prod_{p \ \mathrm{prim}}^{p\,\leq\,7} \!\! p = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210</math>,
:<math> p_4\# = 7\# = \prod_{i=1}^{4} p_i = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210</math>.

A veces se hace una distinción entre el caso especial en el que <math>n</math> es un número primo, y solo se define el ''primorial'' para este caso; mientras que el valor permanece indefinido para <math>n</math> no primo.

En el caso de que <math>n\leq 1</math> se tiene un [[producto vacío]], y el valor del ''factorial primo'' y del ''primorial'' es entonces 1. Para los argumentos <math>n</math> que no son primos, el ''primorial'' no tiene valor, pero la función ''factorial primo'' devuelve para <math>n</math> el ''primorial'' del número primo inmediatamente más pequeño. En la práctica, ambos términos se utilizan mayoritariamente como sinónimos.

==Ejemplo==
Para calcular el valor de <math>7\#</math> (primorial de 7), primero se determinan todos los números primos menores o iguales a 7. Estos son 2, 3, 5 y 7. El producto de estos cuatro números primos produce <math>7\# = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 210</math>. Para 9, por otro lado, no se puede calcular un primorial, pero sí se puede calcular su factorial primo: dado que 9 no es un número primo y el anterior número primo más pequeño es 7 y el siguiente número primo más grande es 11, se aplica que <math>7\# = 8\# = 9\# = 10\# = 210</math>.

==Propiedades==
* Sean <math>p</math> y <math>q</math> dos números primos consecutivos. Entonces, para cada número natural <math>n</math> con <math>p\leq n < q</math>:
::<math>n\#=p\#</math>
* El primorial tiene la propiedad siguiente:<ref>G. H. Hardy, E. M. Wright: ''An Introduction to the Theory of Numbers''. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.<br />Theorem 415, S.&nbsp;341</ref>
::<math>n\#\leq 4^n</math>.
* Además:
::<math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n\#} = e </math>
:Para <math>n < 10^{11}</math> los valores<ref>L. Schoenfeld: ''Sharper bounds for the Chebyshev functions <math>\theta(x)</math> and <math>\psi(x)</math>''. II. ''Math. Comp.'' Bd.&nbsp;34, Nr.&nbsp;134 (1976) 337–360; dort S.&nbsp;359.<br />Zitiert in: G. Robin: ''Estimation de la fonction de Tchebychef <math>\theta</math> sur le <math>k</math>-ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction <math>\omega(n)</math>, nombre de diviseurs premiers de <math>n</math>''. ''Acta Arithm.'' XLII (1983) 367–389 ([http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa42/aa4242.pdf PDF 731KB]); dort S.&nbsp;371</ref> son más pequeños que [[Número e|<math>e</math>]], pero con <math>n</math> más grande los valores de la función exceden el límite de <math>e</math> y luego oscilan infinitamente alrededor de <math>e</math>.

* Si <math>p_k</math> es el número primo <math>k</math>, entonces <math>p_k\#</math> tiene exactamente <math>2^k</math> divisores.
:Por ejemplo, el número <math>2\#</math> tiene dos divisores, <math>3\#</math> tiene cuatro divisores, <math>5\#</math> tiene ocho divisores y <math>97\#</math> ya tiene <math>2^{25}</math> divisores porque 97 es el número primo número 25.

* La suma de los [[Inverso multiplicativo|inversos]] de los números primos converge a la constante:
::<math>\sum_{k=1}^{\infty} {1 \over p_k\#} = {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 30} + {1 \over 210} + \ldots = 0{,}7052301717918\ldots</math>

:La [[expansión de Engel]] (una [[fracción unitaria]] especial) de este número forma la secuencia de los números primos (véase {{OEIS|A064648}}).

* El [[teorema de Euclides]] utiliza la expresión <math>p\# + 1</math> para demostrar que existen infinitos números primos.

==Sucesión de los primoriales==

La sucesión de los primoriales crece muy rápidamente.

He aquí los cincuenta primeros números primos y sus primoriales:

   p: p# (p primo)
 ---  ------------
   2: 2
   3: 6
   5: 30
   7: 210
  11: 2310
  13: 30030
  17: 510510
  19: 9699690
  23: 223092870
  29: 6469693230
  31: 200560490130
  37: 7420738134810
  41: 304250263527210
  43: 13082761331670030
  47: 614889782588491410
  53: 32589158477190044730
  59: 1922760350154212639070
  61: 117288381359406970983270
  67: 7858321551080267055879090
  71: 557940830126698960967415390
  73: 40729680599249024150621323470
  79: 3217644767340672907899084554130
  83: 267064515689275851355624017992790
  89: 23768741896345550770650537601358310
  97: 2305567963945518424753102147331756070
 101: 232862364358497360900063316880507363070
 103: 23984823528925228172706521638692258396210
 107: 2566376117594999414479597815340071648394470
 109: 279734996817854936178276161872067809674997230
 113: 31610054640417607788145206291543662493274686990
 127: 4014476939333036189094441199026045136645885247730
 131: 525896479052627740771371797072411912900610967452630
 137: 72047817630210000485677936198920432067383702541010310
 139: 10014646650599190067509233131649940057366334653200433090
 149: 1492182350939279320058875736615841068547583863326864530410
 151: 225319534991831177328890236228992001350685163362356544091910
 157: 35375166993717494840635767087951744212057570647889977422429870
 163: 5766152219975951659023630035336134306565384015606066319856068810
 167: 962947420735983927056946215901134429196419130606213075415963491270
 173: 166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989710
 179: 29819592777931214269172453467810429868925511217482600306406141434158090
 181: 5397346292805549782720214077673687806275517530364350655459511599582614290
 191: 1030893141925860008499560888835674370998623848299590975192766715520279329390
 193: 198962376391690981640415251545285153602734402721821058212203976095413910572270
 197: 39195588149163123383161804554421175259738677336198748467804183290796540382737190
 199: 7799922041683461553249199106329813876687996789903550945093032474868511536164700810
 211: 1645783550795210387735581011435590727981167322669649249414629852197255934130751870910
 223: 367009731827331916465034565550136732339800312955331782619462457039988073311157667212930
 227: 83311209124804345037562846379881038241134671040860314654617977748077292641632790457335110
 229: 19078266889580195013601891820992757757219839668357012055907516904309700014933909014729740190

== Referencias ==
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==Bibliografía==
* Factorial and primorial primes. J. Recr. Math., 19, 1987, 197-203

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