Edición de «Operador normal»


En [[matemáticas]], especialmente en [[análisis funcional]], un '''operador normal''' en un [[espacio de Hilbert]] complejo H es un [[Aplicación lineal|operador lineal]] [[Función continua|continuo]] ''N'': ''H'' → ''H'' que conmuta con su [[Operador hermítico]] ''N*'', es decir: ''NN*'' = ''N*N.''<ref>{{Obra citada|título=Linear algebra|apellidos=Hoffman|nombre=Kenneth|edición=2nd|editorial=Prentice-Hall, Inc.|lugar=Englewood Cliffs, N.J.|página=312|apellidos2=Kunze|nombre2=Ray|enlaceautor2=Ray Kunze|year=1971}}</ref>

Los operadores normales son importantes porque el [[Teorema de descomposición espectral|teorema espectral]] se sostiene en ellos. La clase de operadores normales es bien entendida. Ejemplos de operadores normales son:

* [[Operador unitario|Operadores unitarios]]: ''N*'' = ''N<sup>−1</sup>''
* [[operador autoadjunto|Operadores hermitianos]] (es decir, operadores autoadjuntos): ''N*'' =''N''
* Operadores [[Matriz antihermitiana|Skew-Hermitian]] '': N*'' = -''N''
* [[Elemento positivo|Operadores positivos]]: ''N'' = ''MM *'' para algunos ''M'' (por lo que ''N'' es autoadjunto).

Una [[matriz normal]] es la expresión matricial de un operador normal en el espacio de Hilbert '''C'''<sup>''n''</sup>.

== Propiedades ==
Los operadores normales se caracterizan por el [[Teorema de descomposición espectral|teorema espectral]]. Un [[Operador compacto en el espacio Hilbert|operador normal compacto]] (en particular, un operador normal en un espacio lineal de dimensión finita) es unitariamente 'diagonalizable'. 

Sea <math> T </math> un operador acotado. Los siguientes son equivalentes.

* <math> T </math> es normal.
* <math> T^* </math> es normal.
* <math>\|Tx\|^2 =  \|T^*x\|^2</math>  para todo ''x'' (usar <math>\|Tx\|^2 = \langle T^*Tx, x \rangle = \langle TT^*x, x \rangle = \|T^*x\|^2</math> ).
* Las partes autoadjuntos y anti-autoadjuntos de ''T'' conmutan. Es decir, si escribimos <math>T\equiv T_1+i T_2</math> con <math>T_1:=\frac{T+T^*}{2}</math> y <math> i\,T_2:=\frac{T-T^*}{2}</math>, luego <math>T_1T_2=T_2T_1</math>.<ref>Por contraste, para la importante clase de [[operadores de creación y destrucción]] de, por ejemplo, [[quantum field theory]], no conmutan.</ref>

Si ''N'' es un operador normal, entonces ''N'' y ''N *'' tienen el mismo núcleo y el mismo rango. En consecuencia, el rango de ''N'' es denso si y solo si ''N'' es inyectivo.{{Qué|fecha=May 2015}} Dicho de otra manera, el núcleo de un operador normal es el complemento ortogonal de su rango. De ello se deduce que el núcleo del operador ''N <sup>k</sup>'' coincide con el de ''N'' para cualquier ''k'' . Todo valor propio generalizado de un operador normal es, por tanto, auténtico. λ es un valor propio de un operador normal ''N'' si y solo si su conjugado complejo <math>\overline{\lambda}</math> es un valor propio de ''N *'' . Los autovectores de un operador normal correspondientes a diferentes autovalores son ortogonales, y un operador normal estabiliza el complemento ortogonal de cada uno de sus autoespacios.<ref name="Naylor">{{Cita libro|apellidos=Naylor, Arch W.|apellidos2=Sell George R.|título=Linear Operator Theory in Engineering and Sciences|editorial=Springer|ubicación=New York|año=1982|isbn=978-0-387-95001-3|url=https://books.google.com/books?id=t3SXs4-KrE0C&dq=naylor+sell+linear}}</ref> Esto implica el teorema espectral habitual: todo operador normal en un espacio de dimensión finita es diagonalizable por un operador unitario. También hay una versión de dimensión infinita del teorema espectral expresada en términos de [[Medida espectral|medidas espectrales]]. El espectro residual de un operador normal está vacío. 

El producto de los operadores normales que se desplazan al trabajo vuelve a ser normal; esto no es trivial, pero se sigue directamente [[Teorema de fuglede|del teorema de Fuglede]], que establece (en una forma generalizada por Putnam):

: Si <math>N_1</math> y <math>N_2</math> son operadores normales y si ''A'' es un operador lineal acotado tal que <math>N_1 A = A N_2</math>, luego <math>N_1^* A = A N_2^*</math> .

La norma de operador de un operador normal es igual a su [[radio numérico]]{{Qué|fecha=May 2015}} y [[radio espectral]] .

Un operador normal coincide con su [[Transformación de Aluthge|transformada Aluthge]].

== Propiedades en caso de dimensión finita ==
Si un operador normal ''T'' en un real de ''dimensión finita''{{Qué|fecha=May 2015}} o el espacio de Hilbert complejo (espacio interior del producto) ''H'' estabiliza un subespacio ''V'', luego también estabiliza su complemento ortogonal ''V'' <sup>⊥</sup> . (Esta afirmación es trivial en el caso de que ''T'' sea autoadjunto. )

''Prueba.'' Sea ''P <sub>V</sub>'' la proyección ortogonal sobre ''V.'' Entonces la proyección ortogonal sobre ''V'' <sup>⊥</sup> es '''1''' <sub>''H''</sub> - ''P <sub>V.</sub>'' El hecho de que ''T'' estabilice ''V'' se puede expresar como ( '''1''' <sub>''H''</sub> - ''P <sub>V</sub>'' ) ''TP <sub>V</sub>'' = 0, o ''TP <sub>V</sub>'' = ''P <sub>V</sub> TP <sub>V.</sub>'' El objetivo es mostrar que ''P <sub>V</sub> T'' ( '''1''' <sub>''H''</sub> - ''P <sub>V</sub>'' ) = 0.

Sea ''X'' = ''P <sub>V</sub> T'' ( '''1''' <sub>''H''</sub> - ''P <sub>V</sub>'' ). Dado que ( ''A'', ''B'' ) ↦ tr ( ''AB *'' ) es un [[Espacio prehilbertiano|producto interno]] en el espacio de endomorfismos de ''H'', es suficiente mostrar que tr ( ''XX *'' ) = 0. Primero notamos que

: <math>XX^* = P_VT(\boldsymbol{1}_H-P_V)^2T^*P_V= P_VT(\boldsymbol{1}_H-P_V)T^*P_V = P_VTT^*P_V - P_VTP_VT^*P_V</math>

Ahora usando las propiedades de la [[Traza (álgebra lineal)|traza]] y de las proyecciones ortogonales tenemos:

: <math>\begin{align}
\operatorname{tr}(XX^*) &= \operatorname{tr} \left ( P_VTT^*P_V - P_VTP_VT^*P_V \right ) \\
&= \operatorname{tr}(P_VTT^*P_V) - \operatorname{tr}(P_VTP_VT^*P_V) \\
&= \operatorname{tr}(P_V^2TT^*) - \operatorname{tr}(P_V^2TP_VT^*) \\
&= \operatorname{tr}(P_VTT^*) - \operatorname{tr}(P_VTP_VT^*) \\
&= \operatorname{tr}(P_VTT^*) - \operatorname{tr}(TP_VT^*) && \text{using the hypothesis that } T \text{ stabilizes } V\\
&= \operatorname{tr}(P_VTT^*) - \operatorname{tr}(P_VT^*T) \\
&= \operatorname{tr}(P_V(TT^*-T^*T)) \\
&= 0.
\end{align}</math>

El mismo argumento se aplica a los operadores normales compactos en espacios de Hilbert de dimensión infinita, donde se hace uso del [[Producto interior de Hilbert-Schmidt|producto interno de Hilbert-Schmidt]], definido por tr ( ''AB *'' ) interpretado adecuadamente.<ref>{{Cita publicación|título=Note on invariant subspaces of a compact normal operator|apellidos=Andô, Tsuyoshi|publicación=Archiv der Mathematik|volumen=14|páginas=337–340|doi=10.1007/BF01234964|año=1963}}</ref> Sin embargo, para los operadores normales limitados, el complemento ortogonal a un subespacio estable puede no ser estable.<ref name="Garrett">{{Cita web|url=http://www.math.umn.edu/~garrett/m/fun/Notes/04a_ops_hsp.pdf|título=Operators on Hilbert spaces|autor=Garrett, Paul|año=2005}}</ref> De ello se deduce que, en general, el espacio de Hilbert no puede ser generado por vectores propios de un operador normal. Considere, por ejemplo, el [[cambio bilateral]] (o cambio bilateral) que actúa sobre <math>\ell^2</math>, que es normal, pero no tiene valores propios.

Los subespacios invariantes de un desplazamiento que actúa sobre el espacio de Hardy se caracterizan por [[Teorema de beurling|el teorema de Beurling]] .

== Elementos normales de álgebras ==
La noción de operadores normales se generaliza a un álgebra involutiva:

Se dice que un elemento ''x'' de un álgebra involutiva es normal si ''xx *'' = ''x * x'' .

Los elementos autoadjuntos y unitarios son normales.

El caso más importante es cuando tal álgebra es un álgebra [[C*-álgebra|C *]].

== Operadores normales ilimitados ==
La definición de operadores normales se generaliza naturalmente a alguna clase de operadores ilimitados. Explícitamente, se dice que un operador cerrado ''N'' es normal si podemos escribir

: <math>N^*N = NN^*.</math>

Aquí, la existencia del adjunto ''N *'' requiere que el dominio de ''N'' sea denso, y la igualdad incluye la afirmación de que el dominio de ''N * N'' es igual al de ''NN *'', lo que no es necesariamente el caso en general.

Los operadores normales equivalentes son precisamente aquellos para los que<ref>Weidmann, Lineare Operatoren in Hilberträumen, Chapter 4, Section 3</ref>

: <math>\|Nx\|=\|N^*x\|\qquad</math>

con

: <math>\qquad\mathcal{D}(N)=\mathcal{D}(N^*).</math>

El teorema espectral sigue siendo válido para los operadores ilimitados (normales). Las pruebas funcionan por reducción a operadores limitados (normales).<ref name="Frei">Alexander Frei, Spectral Measures, Mathematics Stack Exchange, [https://math.stackexchange.com/q/1332154 Existence], [https://math.stackexchange.com/q/1112508 Uniqueness]</ref><ref name="Conway">John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Second Edition, Chapter X, Section §4</ref>

== Generalización ==
El éxito de la teoría de los operadores normales condujo a varios intentos de generalización al debilitar el requisito de conmutatividad. Las clases de operadores que incluyen operadores normales son (en orden de inclusión):

* [[Operador cuasinormal|Operadores cuasinormales]]
* [[Operador subnormal|Operadores subnormales]]
* [[Operador hiponormal|Operadores hiponormales]]
* [[Operador paranormal|Operadores paranormales]]
* [[Normaloide|Normaloides]]

== Referencias ==
{{listaref}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Álgebra lineal]]
[[Categoría:Teoría de operadores lineales]]