Edición de «Multivector»

En [[álgebra multilineal]], un '''multivector''', a veces también denominado '''número de Clifford''' o '''multor''',<ref>John Snygg (2012), ''A New Approach to Differential Geometry Using Clifford’s Geometric Algebra'', Birkhäuser, p. 5 §2.12</ref> es un elemento del [[producto exterior|álgebra exterior]] {{math|Λ(''V'')}}) de un [[espacio vectorial]] {{mvar|V}}. Esta álgebra es [[Álgebra graduada|graduada]], [[Álgebra asociativa|asociativa]] y [[álgebra alterna|alterna]], y consiste en [[combinación lineal|combinaciones lineales]] de {{math|''k''}}-vectores '''simples'''<ref name="Flanders"/> (también conocidos como {{math|''k''}}-vectores '''descomponibles'''<ref>[[Wendell Fleming]] (1977) [1965] ''Functions of Several Variables'', section 7.5 Multivectors, page 295, {{ISBN|978-1-4684-9461-7}}</ref> o [[cuchilla (vector)|{{math|''k''}}-cuchillas]]) de la forma

:<math> v_1\wedge\cdots\wedge v_k</math>

donde <math>v_1, \ldots, v_k</math> pertenecen a {{mvar|V}}.

Un '''{{math|''k''}}-vector''' es una combinación lineal que es ''homogénea'' de grado {{mvar|k}} (todos los términos son {{math|''k''}}-cuchillas con el mismo {{mvar|k}}). Dependiendo de los autores, un ''multivector'' también puede ser un {{math|''k''}}-vector o cualquier elemento del álgebra exterior (cualquier combinación lineal de {{math|''k''}}-cuchillas con valores potencialmente diferentes de {{math|''k''}}).<ref>Élie Cartan, ''The theory of spinors'', [https://books.google.com/books?id=AEZ1h7Cg3cwC&dq=p-vector+multivectors&pg=PA16 p. 16], considers only homogeneous vectors, particularly simple ones, referring to them as "multivectors" (collectively) or ''p''-vectors (specifically).</ref>

En [[geometría diferencial]], un {{math|''k''}}-vector es un vector en el álgebra exterior del [[Espacio tangente|espacio vectorial tangente]]; es decir, es un [[tensor]] antisimétrico obtenido tomando combinaciones lineales del [[producto exterior]] de {{math|''k''}} [[vector tangente|vectores tangentes]], para algún número entero {{math|''k'' ≥ 0}}. Una [[Forma diferencial|{{math|''k''}}-forma diferencial]] es un {{math|''k''}}-vector en el álgebra exterior del [[Espacio dual|dual]] del espacio tangente, que también es dual del álgebra exterior del espacio tangente.

Para {{math|1=''k''= 0, 1, 2}} y {{math|3}}, los {{math|''k''}}-vectores a menudo se denominan respectivamente ''[[Escalar (matemática)|escalares]]'', ''[[vector]]es'', ''[[bivector]]es'' y ''trivectores''; que son respectivamente duales a [[Forma diferencial|0-formas, 1-formas, 2-formas y 3-formas]].<ref name="Ławrynowicz">{{cite book|title=Deformations of mathematical structures II|chapter-url=https://books.google.com/books?id=KfNgBHNUW_cC&pg=PA131|page=131 ''ff''|isbn=0-7923-2576-1|author=William M Pezzaglia Jr.|editor=Julian Ławrynowicz|year=1992|publisher=Springer|chapter=Clifford algebra derivation of the characteristic hypersurfaces of Maxwell's equations|quote=Hence in 3D we associate the alternate terms of ''pseudovector'' for [[bivector]], and ''pseudoscalar'' for the trivector}}
</ref><ref name=Baylis>
{{cite book|author=Baylis|title=Theoretical methods in the physical sciences: an introduction to problem solving using Maple V|url=https://books.google.com/books?id=pEfMq1sxWVEC&pg=PA234|page=234, see footnote|isbn=0-8176-3715-X|year=1994|publisher=Birkhäuser}}
</ref>

==Producto exterior==
{{AP|producto exterior}}

El producto exterior (también llamado producto cuña, por el símbolo Λ) utilizado para construir multivectores es multilineal (lineal en cada entrada), asociativo y alterno. Esto significa que para los vectores '''u''', '''v''' y '''w''' en un espacio vectorial ''V'' y para los escalares <math>\alpha \text{ y } \beta</math>, el producto exterior tiene las propiedades siguientes:

* Lineal en una entrada: <math> \mathbf{u}\wedge(\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w})=\alpha\mathbf{u}\wedge\mathbf{v}+\beta\mathbf{u}\wedge\mathbf{w};</math>
* Asociativo: <math> (\mathbf{u}\wedge\mathbf{v})\wedge\mathbf{w}=\mathbf{u}\wedge(\mathbf{v}\wedge\mathbf{w});</math>
* Alterno: <math> \mathbf{u}\wedge\mathbf{u}=0.</math>

El producto exterior de ''k''-vectores o una suma de dichos productos (para un solo ''k'') se denomina multivector de grado ''k'', o ''k''-vector. El grado máximo de un multivector es la dimensión del espacio vectorial ''V''.

La linealidad en cualquiera de las entradas junto con la propiedad alterna implica la linealidad en la otra entrada. La multilinealidad del producto exterior permite expresar un multivector como una combinación lineal de productos exteriores de vectores base de ''V''. El producto exterior de ''k'' vectores base de ''V'' es la forma estándar de construir cada elemento base para el espacio de ''k''-vectores, que tiene dimensión [[Coeficiente binomial|({{su|p=''n''|b=''k''}})]] en el álgebra exterior de un espacio vectorial de ''n'' dimensiones.<ref name="Flanders">[[ Harley Flanders]] (1989)[1963] ''Differential Forms with Applications to the Physical Sciences'', § 2.1 The Space of ''p''-Vectors, pages 5–7, [[Dover Publications]]</ref>

==Área y volumen==
El ''k''-vector obtenido del producto exterior de ''k'' vectores separados en un espacio ''n''-dimensional tiene componentes que definen los {{nowrap|(''k'' − 1)}}-volúmenes proyectados de los ''k''-[[Paralelepípedo|paralelotopos]] abarcados por los vectores. La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de estos componentes define el volumen del ''k''-paralelotopo.<ref name="Flanders"/><ref>G. E. Shilov, ''Linear Algebra'', (trans. R. A. Silverman), Dover Publications, 1977.</ref>

Los siguientes ejemplos muestran que un bivector en dos dimensiones mide el área de un [[paralelogramo]] y la magnitud de un bivector en tres dimensiones también mide el área de un paralelogramo. De manera similar, un trivector en tres dimensiones mide el volumen de un paralelepípedo.

Es fácil comprobar que la magnitud de un trivector en cuatro dimensiones mide el volumen del paralelepípedo abarcado por estos vectores.

===Multivectores en R<sup>2</sup>===
Las propiedades de los multivectores se pueden ver considerando el espacio vectorial bidimensional {{nowrap|1=''V''= '''R'''<sup>2</sup>}}. Sean los vectores base '''e'''<sub>1</sub> y '''e'''<sub>2</sub>, por lo que '''u''' y '''v''' están dados por

:<math> \mathbf{u}=u_1\mathbf{e}_1+u_2\mathbf{e}_2,\quad \mathbf{v}=v_1\mathbf{e}_1+v_2\mathbf{e}_2,</math>

y el multivector {{nowrap|'''u''' ∧ '''v'''}}, también llamado bivector, se calcula como:

:<math> \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \ =\ \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{vmatrix}\  ( \mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2).</math>

Las barras verticales indican el determinante de la matriz, que es el área del paralelogramo abarcado por los vectores '''u''' y '''v'''. La magnitud de {{nowrap|'''u''' ∧ '''v'''}} es el área de este paralelogramo. Obsérvese que debido a que ''V'' tiene dimensión dos, el bivector base {{nowrap|'''e'''<sub>1</sub> ∧ '''e'''<sub>2</sub>}} es el único multivector en Λ''V''.

La relación entre la magnitud de un multivector y el área o volumen abarcado por los vectores es una característica importante en todas las dimensiones. Además, la versión funcional lineal de un multivector que calcula este volumen se conoce como forma diferencial.

===Multivectores en R<sup>3</sup>===
Se pueden ver más características de los multivectores considerando el espacio vectorial tridimensional {{nowrap|1=''V''= '''R'''<sup>3</sup>}}. En este caso, sean los vectores de una base '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub> y '''e'''<sub>3</sub>, por lo que '''u''', '''v ''' y '''w''' están dados por

:<math>\begin{align}
  \mathbf{u} &= u_1\mathbf{e}_1 + u_2\mathbf{e}_2 + u_3\mathbf{e}_3, &
  \mathbf{v} &= v_1\mathbf{e}_1 + v_2\mathbf{e}_2 + v_3\mathbf{e}_3, &
  \mathbf{w} &= w_1\mathbf{e}_1 + w_2\mathbf{e}_2 + w_3\mathbf{e}_3,
\end{align}</math>

y el bivector {{nowrap|'''u''' ∧ '''v'''}} se calcula como

:<math>
  \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \ =\ 
     \begin{vmatrix} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right)
   + \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_3\right)
   + \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\right).
</math>

Los componentes de este bivector son los mismos que los componentes del [[producto vectorial]]. La magnitud de este bivector es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

Esto muestra que la magnitud del bivector {{nowrap|'''u''' ∧ '''v'''}} es el área del paralelogramo abarcada por los vectores '''u''' y '''v''' tal como se encuentra en el espacio tridimensional ''V''. Los componentes del bivector son las áreas proyectadas del paralelogramo en cada uno de los tres planos de coordenadas.

Obsérvese que debido a que ''V'' tiene dimensión tres, hay una base de trivectores en Λ''V''. El trivector se calcula de la forma siguiente:

:<math>
  \mathbf{u}\wedge\mathbf{v}\wedge\mathbf{w}\ =\ 
  \begin{vmatrix} u_1 & v_1 & w_1\\ u_2 & v_2 & w_2\\ u_3 & v_3 & w_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right).
</math>

{{plegable|título=Deducción del triple producto exterior|contenido=
<math>\begin{align}
     &\mathbf{u}\wedge\mathbf{v}\wedge\mathbf{w}= (\mathbf{u}\wedge\mathbf{v})\wedge\mathbf{w} \\
  {}={} &\left(\begin{vmatrix} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right)
        + \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_3\right)
        + \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\right)
      \right) \wedge \left(w_1\mathbf{e}_1 + w_2\mathbf{e}_2 + w_3\mathbf{e}_3\right) \\
 {}={} &\begin{vmatrix} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right) \wedge \left(w_1\mathbf{e}_1 + w_2\mathbf{e}_2 + w_3\mathbf{e}_3\right) \\
  &{}+ \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_3\right) \wedge \left(w_1\mathbf{e}_1 + w_2\mathbf{e}_2 + w_3\mathbf{e}_3\right) \\
  &{}+ \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\right) \wedge \left(w_1\mathbf{e}_1 + w_2\mathbf{e}_2 + w_3\mathbf{e}_3\right) \\
 {}={} &     \begin{vmatrix} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right) \wedge w_1\mathbf{e}_1
    + \cancel{\begin{vmatrix} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right) \wedge w_2\mathbf{e}_2}
    + \cancel{\begin{vmatrix} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right) \wedge w_3\mathbf{e}_3} &
     &\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_2= 0; \mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_3= 0 \\
  &{}+ \cancel{\begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_3\right) \wedge w_1\mathbf{e}_1}
    +     \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_3\right) \wedge w_2\mathbf{e}_2
    + \cancel{\begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_3\right) \wedge w_3\mathbf{e}_3} &
     &\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_1= 0; \mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_3= 0 \\
  &{}+ \cancel{\begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\right) \wedge w_1\mathbf{e}_1}
    + \cancel{\begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\right) \wedge w_2\mathbf{e}_2}
    +     \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\right) \wedge w_3\mathbf{e}_3 &
     &\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_1= 0; \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_2= 0 \\
  {}={} &\begin{vmatrix} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right) \wedge w_1\mathbf{e}_1
    + \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_3\right) \wedge w_2\mathbf{e}_2
    + \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\right) \wedge w_3\mathbf{e}_3 \\
  {}={} &-w_1 \begin{vmatrix} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_3\right)
     - w_2 \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right)
     + w_3 \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right) \\
  {}={} &w_1 \begin{vmatrix} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right)
    - w_2 \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right)
    + w_3 \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right) \\
  {}={} &\left(w_1 \begin{vmatrix} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix}
        - w_2 \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix}
        + w_3 \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{vmatrix}
      \right) \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right) \\
  {}={} &\begin{vmatrix} u_1 & v_1 & w_1\\ u_2 & v_2 & w_2\\ u_3 & v_3 & w_3\end{vmatrix} \left(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\right) \\
\end{align}</math>
}}

Esto demuestra que la magnitud del trivector {{nowrap|'''u''' ∧ '''v''' ∧ '''w'''}} es el volumen del paralelepípedo abarcado por los tres vectores '''u''', '''v''' y '''w'''.

En espacios de dimensiones superiores, los trivectores componentes son proyecciones del volumen de un paralelepípedo sobre los 3-espacios coordenados, y la magnitud del trivector es el volumen del paralelepípedo tal como se asienta en el espacio de dimensiones superiores.

==Coordenadas de Grassmann==
En esta sección, se consideran los multivectores en un [[espacio proyectivo]] ''P''<sup>''n''</sup>, que proporcionan un conjunto conveniente de coordenadas para rectas, planos e hiperplanos que tienen propiedades similares a las coordenadas homogéneas de los puntos, llamadas [[coordenadas de Grassmann]].<ref>W. V. D. Hodge and D. Pedoe, Methods of Algebraic Geometry, Vol. 1, Cambridge Univ. Press, 1947</ref>

Los puntos en un espacio proyectivo real ''P''<sup>''n''</sup> se definen como rectas que pasan por el origen del espacio vectorial '''R'''<sup>''n''+1</sup>. Por ejemplo, el plano proyectivo ''P''<sup>2</sup> es el conjunto de líneas rectas que pasan por el origen de '''R'''<sup>3</sup>. Por lo tanto, los multivectores definidos en '''R'''<sup>''n''+1</sup> pueden verse como multivectores en ''P''<sup>''n''</sup>.

Una manera conveniente de ver un multivector en ''P''<sup>''n''</sup> es examinarlo en un [[Espacio afín|componente afín]] de ''P''<sup>''n''</sup>, que es la intersección de las rectas que pasan por el origen de '''R'''<sup>''n''+1</sup> con un hiperplano seleccionado, como {{nowrap|1=H: ''x''<sub>''n''+1</sub>= 1}}. Las líneas que pasan por el origen de '''R'''<sup>3</sup> intersecan el plano {{nowrap|1=E: ''z''= 1}} para definir una versión afín del plano proyectivo al que solo le faltan los puntos para los que {{nowrap|1=''z''= 0}}, llamados puntos en el infinito.

===Multivectores en ''P''<sup>2</sup>===
Los puntos en la componente afín {{nowrap|1=E: ''z''= 1}} del plano proyectivo tienen coordenadas {{nowrap|1='''x'''= (''x'', ''y'', 1)}}. Una combinación lineal de dos puntos {{nowrap|1='''p'''= (''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, 1)}} y {{nowrap|1='''q'''= (''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>, 1)}} define un plano en '''R'''<sup>3</sup> que corta a E en la recta que une '''p''' y '''q'''. El multivector {{nowrap|'''p''' ∧ '''q'''}} define un paralelogramo en '''R'''<sup>3</sup> dado por

:<math> \mathbf{p} \wedge \mathbf{q} \ =\ (p_2 - q_2)(\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3) + (p_1- q_1) (\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_3) +(p_1 q_2-  q_1 p_2)(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2).</math>

Obsérvese que la sustitución de {{nowrap|''α'''''p''' + ''β'''''q'''}} por '''p''' multiplica este multivector por una constante. Por lo tanto, las componentes de {{nowrap|'''p''' ∧ '''q'''}} son coordenadas homogéneas para el plano que pasa por el origen de '''R'''<sup>3</sup>.

El conjunto de puntos {{nowrap|1='''x'''= (''x'', ''y'', 1)}} en la recta que pasa por '''p''' y '''q''' es la intersección del plano definido por {{nowrap|'''p''' ∧ '''q'''}} con el plano {{nowrap|1=E: ''z''= 1}}. Estos puntos satisfacen que {{nowrap|1='''x''' ∧ '''p''' ∧ '''q'''= 0}}, es decir,

:<math> \mathbf{x}\wedge\mathbf{p} \wedge \mathbf{q} \ =\ (x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3)\wedge \big( (p_2 - q_2)(\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3) + (p_1- q_1) (\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_3) +(p_1 q_2- q_1 p_2)(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2)\big)=0,</math>

que se simplifica a la ecuación de una recta

:<math> \lambda: x(p_2 - q_2) + y(p_1- q_1)+ (p_1 q_2- q_1 p_2)=0.</math>

Esta ecuación se satisface con los puntos {{nowrap|1='''x'''= ''α'''''p''' + ''β'''''q'''}} para valores reales de <math>\alpha \text{ y }\beta</math>.

Los tres componentes de {{nowrap|'''p''' ∧ '''q'''}} que definen la recta ''&lambda;'' se denominan [[coordenadas de Grassmann]] de la recta. Debido a que tres coordenadas homogéneas definen tanto un punto como una línea recta, se dice que la geometría de los puntos es dual a la geometría de las rectas en el plano proyectivo. Esta propiedad se denomina [[Dualidad (geometría proyectiva)|principio de dualidad]].

===Multivectores en ''P''<sup>3</sup>===
El espacio proyectivo tridimensional, ''P''<sup>3</sup>, consta de todas las rectas que pasan por el origen de '''R'''<sup>4</sup>. Sea el hiperplano tridimensional, {{nowrap|1=H: ''w''= 1}}, el componente afín del espacio proyectivo definido por los puntos {{nowrap|1='''x'''= (''x'', ''y'', ''z'', 1)}}. El multivector {{nowrap|'''p''' ∧ '''q''' ∧ '''r'''}} define un paralelepípedo en '''R'''<sup>4</sup> dado por

:<math>\mathbf{p}\wedge\mathbf{q}\wedge\mathbf{r}=\begin{vmatrix} p_2 & q_2 &r_2\\ p_3 & q_3& r_3\\1&1&1\end{vmatrix}\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{e}_4 + \begin{vmatrix} p_1 & q_1 &r_1\\ p_3 & q_3& r_3\\1&1&1\end{vmatrix}\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{e}_4 + \begin{vmatrix} p_1 & q_1 &r_1\\ p_2 & q_2& r_2\\1&1&1\end{vmatrix}\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_4 + \begin{vmatrix} p_1 & q_1 &r_1\\ p_2 & q_2& r_2\\ p_3 & q_3& r_3\end{vmatrix} \mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3. </math>

Obsérvese que la sustitución de {{nowrap|α'''p''' + β'''q''' + γ'''r'''}} por '''p''' multiplica este multivector por una constante. Por lo tanto, las componentes de {{nowrap|'''p''' ∧ '''q''' ∧ '''r'''}} son coordenadas homogéneas para el espacio tridimensional que pasa por el origen de '''R'''<sup>4</sup>.

Un plano con la componente afín {{nowrap|1=H: ''w''= 1}} es el conjunto de puntos {{nowrap|1='''x'''= (''x'', ''y'', ''z'', 1)}} en la intersección de H con el espacio tridimensional definido por {{nowrap|'''p''' ∧ '''q''' ∧ '''r'''}}. Estos puntos satisfacen la condición {{nowrap|1='''x''' ∧ '''p''' ∧ '''q''' ∧ '''r'''= 0}}, es decir,

:<math> \mathbf{x}\wedge\mathbf{p} \wedge \mathbf{q}\wedge\mathbf{r}= (x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2+z\mathbf{e}_3 +\mathbf{e}_4)\wedge \mathbf{p}\wedge\mathbf{q}\wedge\mathbf{r}= 0 ,</math>

que se simplifica a la ecuación de un plano

:<math> \lambda: x\begin{vmatrix} p_2 & q_2 &r_2\\ p_3 & q_3& r_3\\1&1&1\end{vmatrix} + y \begin{vmatrix} p_1 & q_1 &r_1\\ p_3 & q_3& r_3\\1&1&1\end{vmatrix}+ z\begin{vmatrix} p_1 & q_1 &r_1\\ p_2 & q_2& r_2\\1&1&1\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} p_1 & q_1 &r_1\\ p_2 & q_2& r_2\\ p_3 & q_3& r_3\end{vmatrix}=0.</math>

Esta ecuación se satisface con los puntos {{nowrap|1='''x'''= ''α'''''p''' + ''β'''''q''' + ''γ'''''r'''}} para valores reales de ''α'', ''ß'' y ''γ''.

Las cuatro componentes de {{nowrap|'''p''' ∧ '''q''' ∧ '''r'''}} que definen el plano ''λ'' se denominan [[coordenadas de Grassmann]] del plano. Debido a que cuatro coordenadas homogéneas definen tanto un punto como un plano en el espacio proyectivo, la geometría de los puntos es dual a la geometría de los planos.

'''Una línea recta como la unión de dos puntos:''' En el espacio proyectivo, la recta ''λ'' que pasa por dos puntos '''p''' y '''q''' puede verse como la intersección del espacio afín {{nowrap|1=H: ''w''= 1}} con el plano {{nowrap|1='''x'''= ''α'''''p''' + ''β'''''q'''}} en '''R'''<sup>4</sup>. El multivector {{nowrap|'''p''' ∧ '''q'''}} proporciona las coordenadas homogéneas de la línea recta

:<math>\begin{align} \lambda: \mathbf{p} \wedge \mathbf{q} &= (p_1\mathbf{e}_1+p_2\mathbf{e}_2+p_3\mathbf{e}_3 +\mathbf{e}_4)\wedge (q_1\mathbf{e}_1+q_2\mathbf{e}_2+q_3\mathbf{e}_3 +\mathbf{e}_4),\\
&=\begin{vmatrix} p_1 & q_1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_4 + \begin{vmatrix} p_2 & q_2\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_4 + \begin{vmatrix} p_3 & q_3\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{e}_4+ \begin{vmatrix} p_2 & q_2\\ p_3 & q_3 \end{vmatrix}\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3+\begin{vmatrix} p_3 & q_3\\ p_1 & q_1 \end{vmatrix}\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{e}_1+\begin{vmatrix} p_1 & q_1\\ p_2 & q_2\end{vmatrix}\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2.\end{align}</math>

que se conocen como [[coordenadas plückerianas]] de la recta, aunque también son un ejemplo de coordenadas de Grassmann.

'''Una recta como intersección de dos planos:''' Una recta ''µ'' en el espacio proyectivo también se puede definir como el conjunto de puntos '''x''' que forman la intersección de dos planos ''π'' y ''ρ'' definidos por multivectores de grado tres, por lo que los puntos '''x''' son las soluciones de las ecuaciones lineales

:<math> \mu: \mathbf{x}\wedge \pi= 0, \mathbf{x}\wedge \rho= 0.</math>

Para obtener las coordenadas de Plucker de la línea ''µ'', basta con asignar los multivectores ''π'' y ''ρ'' a sus coordenadas de punto duales usando el [[dual de Hodge]],<ref name="Flanders"/>.

:<math> \mathbf{e}_1= {\star}(\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3 \wedge\mathbf{e}_4), -\mathbf{e}_2= {\star}(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_3 \wedge\mathbf{e}_4), \mathbf{e}_3= {\star}(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2 \wedge\mathbf{e}_4), -\mathbf{e}_4= {\star}(\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2 \wedge\mathbf{e}_3),</math>

y por lo tanto,

:<math> {\star}\pi= \pi_1\mathbf{e}_1 + \pi_2\mathbf{e}_2 + \pi_3\mathbf{e}_3 + \pi_4\mathbf{e}_4, \quad {\star}\rho= \rho_1\mathbf{e}_1 + \rho_2\mathbf{e}_2 + \rho_3\mathbf{e}_3 + \rho_4\mathbf{e}_4 .</math>

Entonces, las coordenadas de Plücker de la recta ''µ'' están dadas por

:<math> \mu: ({\star}\pi)\wedge({\star}\rho)=\begin{vmatrix} \pi_1 & \rho_1\\ \pi_4 & \rho_4 \end{vmatrix}\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_4 + \begin{vmatrix} \pi_2 & \rho_2\\ \pi_4 & \rho_4 \end{vmatrix}\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_4 + \begin{vmatrix} \pi_3 & \rho_3\\ \pi_4 & \rho_4\end{vmatrix}\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{e}_4+ \begin{vmatrix} \pi_2 & \rho_2\\ \pi_3 & \rho_3\end{vmatrix}\mathbf{e}_2\wedge\mathbf{e}_3+\begin{vmatrix} \pi_3 & \rho_3\\ \pi_1 & \rho_1\end{vmatrix}\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{e}_1+\begin{vmatrix} \pi_1 & \rho_1\\ \pi_2 & \rho_2\end{vmatrix}\mathbf{e}_1\wedge\mathbf{e}_2.</math>

Debido a que las seis coordenadas homogéneas de una recta se pueden obtener a partir de la unión de dos puntos o de la intersección de dos planos, se dice que la línea es autodual en el espacio proyectivo.

==Producto de Clifford==
[[William Kingdon Clifford|W. K. Clifford]] combinó multivectores con el [[espacio prehilbertiano]] definido en el espacio vectorial, para obtener una construcción general para números hipercomplejos que incluye los números complejos habituales y los [[cuaternión|cuaterniones]] de Hamilton.<ref>W. K. Clifford, "Preliminary sketch of bi-quaternions," Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) pp. 381–395</ref><ref>W. K. Clifford, ''Mathematical Papers'', (ed. R. Tucker), London: Macmillan, 1882.</ref>

El producto de Clifford entre dos vectores '''u''' y '''v''' es bilineal y asociativo como el producto exterior, y tiene la propiedad adicional de que el multivector '''uv''' está acoplado al producto interior {{nowrap|'''u''' ⋅ '''v'''}} mediante la relación de Clifford,

:<math> \mathbf{u}\mathbf{v} + \mathbf{v}\mathbf{u}= 2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.</math>

La relación de Clifford conserva la propiedad anticonmutación para vectores perpendiculares. Esto se puede ver en los vectores unitarios mutuamente ortogonales {{nowrap|1='''e'''<sub>''i''</sub>, ''i''= 1, ..., ''n''}}''''' en '''R''<sup>''n''</sup>: la relación de Clifford produce

:<math> \mathbf{e}_i\mathbf{e}_j + \mathbf{e}_j\mathbf{e}_i= 2\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j= \delta_{i,j} ,</math>

lo que muestra que los vectores de base se anticonmutan mutuamente,

:<math> \mathbf{e}_i\mathbf{e}_j= - \mathbf{e}_j\mathbf{e}_i, \quad i\neq j= 1, \ldots, n.</math>

A diferencia del producto exterior, el producto de Clifford de un vector consigo mismo no es cero. Para verlo, basta con calcular el producto.

:<math> \mathbf{e}_i\mathbf{e}_i + \mathbf{e}_i\mathbf{e}_i= 2 \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_i= 2,</math>

del que resulta

:<math> \mathbf{e}_i\mathbf{e}_i= 1,\quad i=1,\ldots, n.</math>

El conjunto de multivectores construido utilizando el producto de Clifford produce un álgebra asociativa conocida como [[álgebra de Clifford]]. Se pueden utilizar productos internos con diferentes propiedades para construir diferentes álgebras de Clifford.<ref>[https://books.google.com/books?id=glOqQgAACAAJ J. M. McCarthy, ''An Introduction to Theoretical Kinematics'', pp.&nbsp;62–5, MIT Press 1990.]</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=f8I4yGVi9ocC O. Bottema and B. Roth, ''Theoretical Kinematics'', North Holland Publ. Co., 1979]</ref>

==Álgebra geométrica==
{{VT|cuchilla (vector)}}

El término ''k-cuchilla'' (traducción del original en inglés ''k-blade'') se introdujo en la obra ''Clifford Algebra to Geometric Calculus'' de 1984.<ref>David Hestenes & Garret Sobczyk (1984) ''Clifford Algebra to Geometric Calculus'', p. 4, D. Reidel {{ISBN|90-277-1673-0}}</ref>

Los multivectores desempeñan un papel central en la formulación matemática de la física conocida como álgebra geométrica. Según [[David Hestenes]],

:Los ''k''-vectores [no escalares] a veces se denominan ''k-blades'' o simplemente ''blades'', para enfatizar el hecho de que, a diferencia de los 0-vectores (escalares), tienen "propiedades direccionales".<ref>[[David Hestenes]] (1999)[1986] [https://books.google.com/books?id=AlvTCEzSI5wC&pg=PA34 New Foundations for Classical Mechanics], page 34, [[ D. Reidel]] {{ISBN|90-277-2090-8}}</ref>

En 2003, C. Doran y A. Lasenby utilizaron el término ''blade'' para un multivector que puede escribirse como el producto exterior de [un escalar y] un conjunto de vectores. Aquí, mediante la afirmación "Cualquier multivector se puede expresar como la suma de cuchillas", los escalares se definen implícitamente como 0-cuchillas.<ref>C. Doran and A. Lasenby (2003) ''Geometric Algebra for Physicists'', page 87, [[Cambridge University Press]] {{ISBN|9780511807497}}</ref>

En [[álgebra geométrica]], un multivector se define como la suma de [[cuchilla (vector)|''k''-cuchillas]] de diferente grado, como la suma de un [[Escalar (matemática)|escalar]], un [[vector]] y un 2-vector.<ref name= Rodrigues>{{cite book|title=Invariants for pattern recognition and classification|author=Marcos A. Rodrigues|chapter=§1.2 Geometric algebra: an outline|chapter-url=https://books.google.com/books?id=QbFSt0SlDjIC&pg=PA3|page=3 ''ff''|isbn=981-02-4278-6|year=2000|publisher=World Scientific}}
</ref> Una suma de solo componentes de grado ''k'' se denomina ''k''-vector,<ref name=Sommer>{{cite book|title=Computer algebra and geometric algebra with applications|editor1=Hongbo Li|editor2=Peter J. Olver|editor2-link=Peter J. Olver|editor3=Gerald Sommer|chapter-url=https://books.google.com/books?id=uxofVAQE3LoC&pg=PA330|chapter=Applications of conformal geometric algebra in computer vision and graphics|page=330|author=R Wareham, J Cameron & J Lasenby|isbn=3-540-26296-2|year=2005|publisher=Springer}}
</ref> o multivector ''homogéneo''.<ref name=Sanfeliu>{{cite book|title=Progress in pattern recognition, image analysis and applications|chapter-url=https://books.google.com/books?id=gsnXS1xdeekC&pg=PA25|page=25|editor1=Alberto Sanfeliu|editor2=José Francisco Martínez Trinidad|editor3=Jesús Ariel Carrasco Ochoa|author=Eduardo Bayro-Corrochano|chapter= Clifford geometric algebra: A promising framework for computer vision, robotics and learning|isbn=3-540-23527-2|publisher=Springer|year=2004}}
</ref>

El elemento de mayor grado en un espacio se llama ''[[pseudoescalar]]''.

Si un elemento dado es homogéneo de grado ''k'', entonces es un ''k''-vector, pero no necesariamente una ''k''-cuchilla. Tal elemento es una ''k''-cuchilla cuando puede expresarse como el producto exterior de ''k'' vectores. Un álgebra geométrica generada por un espacio vectorial de 4 dimensiones ilustra el punto con un ejemplo: la suma de dos cuchillas cualesquiera, una tomada del plano XY y la otra tomada del plano ZW, formará un 2-vector que no es una 2-cuchilla. En un álgebra geométrica generada por un espacio vectorial de dimensión 2 o 3, todas las sumas de 2-cuchillas se pueden expresar como una única 2-cuchilla.

===Ejemplos===
   {{multiple image
|left
|footer= Interpretación geométrica de elementos de grado ''n'' en un álgebra exterior real para {{nowrap|1=''n''= 0}} (punto con signo), 1 (segmento de línea dirigido o vector), 2 (elemento plano orientado), 3 (volumen orientado). El producto exterior de ''n'' vectores se puede visualizar como cualquier forma ''n''-dimensional (por ejemplo, un ''n''-[[Paralelepípedo|paralelotopo]], ''n''-[[elipsoide]]); con magnitud ([[medida de Lebesgue]]), y [[Orientación (espacio vectorial)|orientación]] definido en su límite {{nowrap|(''n'' − 1)}} dimensional y por el lado en el que está el interior.<ref>{{cite book|author=R. Penrose|title=[[El camino a la realidad: Una guía completa a las leyes del universo]]|publisher= Vintage books|year=2007|isbn=978-0-679-77631-4}}</ref><ref>{{cite book|title=Gravitation|author1=J.A. Wheeler|author2=C. Misner|author3=K.S. Thorne|publisher=W.H. Freeman & Co|year=1973|page=83|isbn=0-7167-0344-0}}</ref>
|width1= 220
|image1= N vector positive.svg
|caption1= Orientación definida por un conjunto ordenado de vectores
|width2= 220
|image2= N vector negative.svg
|caption2= La orientación invertida corresponde a hacer negativo el producto exterior
}}

* Los 0-vectores son escalares
* Los 1-vectores son vectores
* Los 2-vectores son [[bivector]]es
* Los (''n''- 1) vectores son [[vector axial|vectores axiales]]
* Los ''n''-vectores son [[pseudoescalar]]es

En presencia de una [[forma de volumen]] (como cuando se da un [[espacio prehilbertiano]] y una orientación), los pseudovectores y pseudoescalares se pueden identificar con vectores y escalares, lo cual es una rutina en el [[cálculo vectorial]], pero sin una forma de volumen, esto no se puede hacer sin realizar una elección arbitraria.

En [[álgebra del espacio físico]] (el álgebra geométrica del 3-espacio euclídeo, utilizado como modelo del (3+1)-espacio-tiempo), una suma de un escalar y un vector se llama [[paravector]] y representa un punto en el [[espacio-tiempo]] (el vector en el espacio, y el escalar en el tiempo).

===Bivectores===
{{AP|Bivector}}

Un '''bivector''' es un elemento del [[producto tensorial]] [[Tensor antisimétrico|antisimétrico]] de un [[espacio tangente]] consigo mismo.

En [[álgebra geométrica]], además, un '''bivector''' es un elemento de grado 2 (un 2-vector) resultante del [[producto exterior]] de dos vectores, por lo que es geométricamente un ''área orientada'', de la misma manera que un ''vector'' es un segmento de línea orientado. Si '''a''' y '''b''' son dos vectores, el bivector {{nowrap|'''a''' ∧ '''b'''}} tiene

* Una [[Norma vectorial|norma]] que es su área, dada por
*:<math>\left\|\mathbf a \wedge \mathbf b \right\|= \left\|\mathbf{a} \right\|\, \left\|\mathbf{b} \right\|\, \sin(\phi_{a,b})</math>
* Una dirección: el plano donde se encuentra esa área, es decir, el plano determinado por '''a''' y '''b''', siempre que sean linealmente independientes
* Una orientación (de dos), determinada por el orden en que se multiplican los vectores originarios
Los bivectores están conectados a los [[vector axial|vectores axiales]] y se utilizan para representar rotaciones en álgebra geométrica.

Como los bivectores son elementos de un espacio vectorial Λ<sup>2</sup>''V'' (donde ''V'' es un espacio vectorial de dimensión finita con {{nowrap|1=dim ''V''= ''n''}}), tiene sentido definir un [[espacio prehilbertiano]] en este espacio vectorial de la siguiente manera. Primero, elíjase cualquier elemento {{nowrap|''F'' ∈ Λ<sup>2</sup>''V''}} en términos de una base {{nowrap|1=('''e'''<sub>''i''</sub> ∧ '''e'''<sub>''j''</sub>)<sub>1 ≤ ''i'' < ''j'' ≤ ''n''</sub> of Λ<sup>2</sup>''V''}} como

: <math>F= F^{ab} \mathbf{e}_a \wedge \mathbf{e}_b \quad (1 \le a < b \le n) ,</math>

donde se utiliza [[convenio de suma de Einstein]].

Ahora, se debe definir una aplicación {{nowrap|G : Λ<sup>2</sup>''V'' × Λ<sup>2</sup>''V'' → '''R'''}} insistiendo en que

: <math>G(F, H) := G_{abcd}F^{ab}H^{cd} ,</math>

donde <math>G_{abcd}</math> es un conjunto de números.

==Aplicaciones==
Los bivectores desempeñan numerosas funciones importantes en física, como por ejemplo, en la [[clasificación de campos electromagnéticos]].

==Véase también==
*[[Cuchilla (vector)]]
*[[Paravector]]

==Referencias==
{{listaref|2}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Álgebra multilineal]]
[[Categoría:Cálculo tensorial]]
[[Categoría:Geometría diferencial]]
[[Categoría:Álgebra geométrica]]