Edición de «Multiconjunto»

En [[matemáticas]] un '''multiconjunto''' (también llamado '''bolsa''' o '''bag''') difiere de un [[conjunto]] en que cada miembro del mismo tiene asociada una ''[[multiplicidad]]'' (un [[número natural]]), indicando ''cuántas veces'' el elemento es miembro del conjunto. Por ejemplo, en el multiconjunto { ''a'', ''a'', ''b'', ''b'', ''b'', ''c'' }, las multiplicidades de los miembros ''a'', ''b'', y ''c'' son 2, 3, y 1, respectivamente. Para evitar confusión debiera escribirse: <a,a,b,b,b,c><ref>Scheinerman: ''Matemáticas discretas'' ISBN 970-686-071-1  </ref>

[[Richard Dedekind]] ya usaba el término ''multiconjunto'' en un artículo publicado en 1888.<ref>Syropoulos, Apostolos (2001), p. 347</ref>

== Definición formal ==

En [[teoría de conjuntos]], un '''multiconjunto''' se define como un conjunto en el que cada elemento es un par (''A'', ''m'') donde ''A'' es un [[conjunto]] y ''m'' : ''A'' → <math>\mathbb N</math> es una [[Función matemática|función]] de ''A'' a <math>\mathbb N</math> (números naturales). ''A'' se conoce como el ''conjunto subyacente de elementos''. Para cada ''a'' de ''A'', la ''multiplicidad'' de ''a'' es el número ''m''(''a'').

Es común escribir la función ''m'' como un conjunto de [[par ordenado|pares ordenados]] {(''a'', ''m''(''a'')) : ''a'' ∈ ''A''}. Siendo esta, sin duda, la definición (utilizando [[teoría de conjuntos]]) de la función ''m''. Por ejemplo:
* El multiconjunto escrito como {''a'', ''b'', ''b''} se define como {(''a'', 1), (''b'', 2)},
* El siguiente {''a'', ''a'', ''b''}, por su parte, se define como {(''a'', 2), (''b'', 1)}, y
* Finalmente, el multiconjunto {''a'', ''b''} se define como {(''a'', 1), (''b'', 1)}.

Si el conjunto ''A'' es [[finito]], el ''tamaño'' o ''longitud'' del multiconjunto (''A'', ''m'') es la suma de todas las multiplicidades para cada elemento de ''A'':
:<math>\sum_{a\in A}m(a).</math>

Un '''submulticonjunto''' (''B'', ''n'') del multiconjunto (''A'', ''m'') es un [[subconjunto]] ''B'' ⊆ ''A'' y una aplicación ''n'' : ''B'' → '''N''' tal que ''n''(''a'') ≤ ''m''(''a'').

== Ejemplos ==

Uno de los ejemplos más simples es el multiconjunto de los factores [[Número primo|primos]] de un número ''n''.
El conjunto subyacente de elementos, en este caso, es el conjunto de divisores primos de ''n''. Por ejemplo, para el número 120 obtenemos la factorización:<math>120 = 2^3 3^1 5^1</math>, que resulta el multiconjunto {2, 2, 2, 3, 5}.

Otro ejemplo conocido es el multiconjunto de soluciones de una ecuación algebraica. Una [[ecuación cuadrática]], por ejemplo, tiene dos soluciones; aunque en algunos casos, ambas pueden ser el mismo número.
Así, el multiconjunto de soluciones de una ecuación cuadrática puede ser { 3, 5 }, pero también { 4, 4 }. En este último, la solución 4 tiene multiplicidad 2.

==Notas==
{{listaref}}

== Véase también==
* [[Combinaciones con repetición]]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de conjuntos]]
[[Categoría:Temas factoriales y binomiales]]