Edición de «Modelo probit»

[[Archivo:Probit plot.png|miniaturadeimagen|Gráfica del modelo probit]]
En [[estadística]], un '''modelo probit''' es un área de [[regresión]] donde la variable dependiente puede tomar solo dos valores, por ejemplo, casados o no casados. La palabra es un acrónimo, viene de '''''prob'''''abilidad + un'''''it''''' (unidad).<ref>''Oxford English Dictionary'', 3rd ed. s.v. ''probit'' (article dated June 2007): {{cite journal |first=C. I. |last=Bliss |title=The Method of Probits |journal=[[Science (revista)|Science]] |volume=79 |issue=2037 |pages=38–39 |year=1934 |quote=These arbitrary probability units have been called ‘probits’. |doi=10.1126/science.79.2037.38 |pmid=17813446}}</ref> El propósito del modelo es estimar la probabilidad de que una observación con características particulares caerá en una categoría específica; además, clasificando las observaciones basadas en sus probabilidades predichas es un tipo de modelo de clasificación binario .

Un modelo probit es una especificación popular para un modelo de respuesta ordinal<ref>Ordinal probit regression model UCLA Academic Technology Services http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/dae/ologit.htm {{Wayback|url=http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/dae/ologit.htm |date=20170210093646 }}</ref> o binario. Como tal, trata el mismo conjunto de problemas que la [[regresión logística]] utilizando técnicas similares. El modelo probit, que emplea una función de enlace probit, se suele estimar utilizando el procedimiento estándar de máxima verosimilitud , que se denomina una regresión probit.

Los modelos Probit fueron presentados por Chester Bliss en 1934;<ref>{{cita publicación |nombre=C. I. |apellido=Bliss |título=The Method of Probits |url=https://archive.org/details/sim_science_1934-01-12_79_2037/page/n18 |publicación=[[Science (revista)|Science]] |volumen=79 |número=2037 |páginas=38–39 |año=1934 |doi=10.1126/science.79.2037.38 |pmid=17813446}}</ref>  [[Ronald Fisher]] propuso un método rápido para calcular las estimaciones de máxima verosimilitud para ellos como apéndice del trabajo de Bliss en 1935.<ref>{{cita publicación |apellido=Fisher |nombre=R. A. |título=The Case of Zero Survivors in Probit Assays |publicación=Annals of Applied Biology |volumen=22 |número= |páginas=164–165 |año=1935 |url=http://ebooks.adelaide.edu.au/dspace/handle/2440/15223 |doi=10.1111/j.1744-7348.1935.tb07713.x |fechaacceso=31 de marzo de 2014 |urlarchivo=https://archive.today/20140430203018/http://ebooks.adelaide.edu.au/dspace/handle/2440/15223 |fechaarchivo=30 de abril de 2014 }}</ref>

== Marco conceptual ==

Supongamos que una variable de respuesta <math>Y</math> es dicotómica, es decir, que puede tener solo dos resultados posibles que denotaremos como <math>
1
</math> y <math>
0
</math>. Por ejemplo, <math>Y</math> puede representar la presencia o ausencia de una determinada condición, éxito o falla de algún dispositivo, responder sí o no en una encuesta, etc. También tenemos un vector de regresores ''que denotaremos por'' <math>X</math>, que se supone influyen en el resultado de <math>Y</math>. Específicamente, suponemos que el modelo toma la forma:
: <math>
    \operatorname{P}[Y=1\mid X]=\Phi(X^T\beta),
  </math>
donde <math>
    P
  </math> denota la probabilidad, y <math>
    \Phi 
  </math> es la [[Función de distribución|función de distribución acumulada]] (FDA) de la [[Distribución normal|distribución normal estándar]]. Los parámetros <math>
    \beta
  </math> se estiman típicamente por [[máxima verosimilitud]].

Es posible motivar el modelo probit como un modelo de [[variable latente]]. Supongamos que existe una [[variable aleatoria]] auxiliar 
: <math> Y^\ast = X^T\beta + \varepsilon, </math>
donde <math>
    \varepsilon\sim N(0,1)
  </math>. Entonces <math>
    Y
  </math> puede verse como un indicador de si esta variable latente es positiva:
: <math> Y = 
\left.
\begin{cases} 
    1 & Y^* > 0 \\
    0 &\text{en otro caso}
\end{cases}
\right. 
= 
\begin{cases}
    1 & - \varepsilon < X^T\beta, \\
    0 &\text{en otro caso}. 
\end{cases} </math>

El uso de la distribución normal estándar no causa pérdida de generalidad en comparación con el uso de una media arbitraria y una desviación estándar porque la suma de una cantidad fija a la media puede compensarse restando la misma cantidad de la intersección y multiplicando la desviación estándar por una cantidad fija se puede compensar multiplicando los pesos por la misma cantidad.

Para ver que los dos modelos son equivalentes, tenga en cuenta que:
:<math>
\begin{align}
    \operatorname{P}[Y=1\mid X] 
    &=\operatorname{P}[Y^\ast >0] \\
    &=\operatorname{P}[X^T\beta+\varepsilon>0] \\
    &=\operatorname{P}[\varepsilon > -X^T\beta] \\
    &=\operatorname{P}[\varepsilon<X^T\beta] & \text{por simetría de la distribución normal}\\
    &=\Phi[X^T\beta]
\end{align}
</math>

== Estimación del modelo ==
=== Estimación de máxima verosimilitud ===

Supongamos que el conjunto de datos <math>\{y_i,x_i\}_{i=1}^n</math> contiene <math>
n
</math> unidades estadísticas independientes que corresponden al modelo anterior. Entonces su función conjunta de verosimilitud de <math>
\log
</math> es
: <math> \ln\mathcal{L}(\beta) = \sum_{i=1}^n \bigg( y_i\ln\Phi(x_i'\beta) + (1-y_i)\ln\!\big(1-\Phi(x_i'\beta)\big) \bigg)</math>

El estimador <math>\widehat\beta</math> que maximiza esta función será consistente, asintóticamente normal y eficiente siempre que <math>
XX^T
</math> exista y sea no singular. Se puede demostrar que esta [[función de verosimilitud]] de <math>
\log
</math> es cóncava globalmente en <math>
\beta
</math>, y, por lo tanto, los algoritmos numéricos estándar para la optimización convergerán rápidamente al máximo único.

Distribución asintótica para  <math>\hat\beta</math> está dado por:

: <math>\sqrt{n}(\hat\beta - \beta)\ \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}(0,\,\Omega^{-1}),</math>
donde
: <math>\Omega = \operatorname{E}\bigg[ \frac{\varphi^2(X'\beta)}{\Phi(X'\beta)(1-\Phi(X'\beta))}XX' \bigg], \qquad
  \widehat\Omega = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{\varphi^2(x'_i\hat\beta)}{\Phi(x'_i\hat\beta)(1-\Phi(x'_i\hat\beta))}x_ix'_i
  </math>

y ''φ = Φ''' es la función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución normal estándar.

== El método mínimo de ji-cuadrado de Berkson ==

Este método solo se puede aplicar cuando hay muchas observaciones de variables de respuesta y <math>y_i</math> teniendo el mismo valor del vector de regresores  <math>x_i</math> (tal situación puede denominarse "muchas observaciones por celda"). Más específicamente, el modelo se puede formular de la siguiente manera.

Supongamos que entre ''n'' observaciones  <math>\{y_i,x_i\}_{i=1}^n</math> solo hay T valores distintos de los regresores, que se pueden denotar como <math>\{x_{(1)},\ldots,x_{(T)}\}</math>.
Sea <math>n_t</math> el número de observaciones con <math>x_i=x_{(t)},</math> y <math>r_t</math> el número de tales observaciones con <math>y_i=1</math>. Suponemos que efectivamente hay "muchas" observaciones por cada "célula": para cada <math> t, \lim_{n \rightarrow \infty} n_t/n = c_t > 0 </math>.

Denotemos:
: <math> \hat{p}_t = r_t/n_t </math>
: <math> \hat\sigma_t^2 = \frac{1}{n_t} \frac{\hat{p}_t(1-\hat{p}_t)}{\varphi^2\big(\Phi^{-1}(\hat{p}_t)\big)} </math>

Entonces, el [[estimador]] mínimo de chi-cuadrado de Berkson es un estimador de mínimos cuadrados generalizados en una regresión de  <math>\Phi^{-1}(\hat{p}_t)</math> en <math>x_{(t)}</math> con ponderadores <math>\hat\sigma_t^{-2}</math>:
: <math> \hat\beta = \Bigg( \sum_{t=1}^T \hat\sigma_t^{-2}x_{(t)}x'_{(t)} \Bigg)^{-1} \sum_{t=1}^T \hat\sigma_t^{-2}x_{(t)}\Phi^{-1}(\hat{p}_t) </math>

Se puede demostrar que este estimador es consistente (como ''n''→∞ y ''T'' fijo), asintóticamente normal y eficiente. [ cita requerida ] Su ventaja es la presencia de una fórmula de [[Forma cerrada (matemática)|forma cerrada]] para el estimador. Sin embargo, solo es significativo llevar a cabo este análisis cuando las observaciones individuales no están disponibles, solo sus cuentas agregadas <math>r_t</math>, <math>n_t</math>, y <math>x_{(t)}</math> (por ejemplo, en el análisis del comportamiento electoral).

== Referencias ==
{{Listaref}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Econometría]]