Edición de «Forma modular»

En [[matemáticas]], una '''forma modular''' es una [[función analítica]] compleja en el [[semiplano]] superior que satisface un cierto tipo de [[ecuación funcional]] y condición de crecimiento. Por lo tanto la teoría de las formas modulares pertenece al [[análisis complejo]], pero la principal relevancia de la teoría ha estado tradicionalmente en sus conexiones con la [[teoría de números]].<ref>Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X</ref> Las formas modulares aparecen en otras áreas, tales como la [[topología algebraica]] y la [[teoría de cuerdas]]. 

Una función modular es una forma modular de peso 0: es ''invariante'' ante el [[grupo modular]], en vez de transformarse en la forma prescripta, y por lo tanto es una función modular en la región modular.

La teoría de la forma modular es un caso especial de la teoría más general de las [[Automorfismo|formas automórficas]] y por lo tanto puede ser considerada como la parte más concreta de la amplia [[teoría de grupos]] discretos.

==Formas modulares para SL(2, Z)==
=== Definición Estándar ===
Una forma modular de peso {{mvar|k}} para el [[grupo modular]]
:<math>\text{SL}(2, \mathbf Z) = \left \{ \left. \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \right| a, b, c, d \in \mathbf Z,\ ad-bc = 1 \right \}</math>
es una función {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} de [[Número complejo|valores complejos]] sobre el [[semiplano superior|semiplano positivo]] {{math|'''H''' {{=}} {''z'' ∈ '''C''', [[Parte imaginaria|Im]](''z'') > 0},}} que satisface las tres siguientes condiciones: 
: (1) {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} es una [[función holomorfa]] sobre {{math|'''H'''}}. 
: (2) Para cualquier {{math|''z'' ∈ '''H'''}} y cualquier matriz en {{math|SL(2, '''Z''')}} como la de arriba, se tiene:
::<math> f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>
: (3) {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} se requiere que sea holomorfa cuando {{math|''z'' → [[unidad imaginaria|''i'']]∞}}.

Observaciones: 
* El peso {{mvar|k}} es generalmente un entero positivo.
* Para impares {{mvar|k}}, únicamente la función nula puede satisfacer la segunda condición.
* La tercera condición también puede expresarse diciendo que {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} es «holomorfa en la [[cúspide (singularidad)|cúspide]]». 
* La segunda condición para 
::<math>S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> 
:indica que
::<math>f(-1/z) = z^k f(z), \qquad f(z+1) = f(z)</math>
:respectivamente. Puesto que {{mvar|S}} y {{mvar|T}} [[Conjunto generador de un grupo|generan]] el grupo modular {{math|SL(2, '''Z''')}}, la segunda condición de arriba es equivalente a esas dos ecuaciones. 
* Las formas modulares {{math|&thinsp;''f''&thinsp;(''z'' + 1) {{=}} &thinsp;''f''&thinsp;(''z'')}} son [[Función periódica|funciones periódicas]], con periodo {{math|1}}, y por tanto tienen [[serie de Fourier|series de Fourier]] asociadas.

=== Como función en grillas ===

Una forma modular puede ser pensada como una función ''F'' del conjunto de [[par fundamental de períodos|grillas]] Λ en '''C''' al conjunto de los [[números complejos]] que satisface ciertas condiciones:

:(1) Si se considera la grilla <math>\Lambda = \langle \alpha, z\rangle</math> generada por una &alpha; constante y una variable ''z'', entonces ''F''(Λ) es una [[función analítica]] de ''z''.

:(2) Si α es un [[número complejo]] no nulo y αΛ es la grilla obtenida al multiplicar cada elemento de Λ por α, entonces ''F''(αΛ) = α<sup>−''k''</sup>''F''(Λ) donde ''k'' es una constante (típicamente un entero positivo) llamado el '''peso''' de la forma.

:(3) El [[valor absoluto]] de ''F''(Λ) permanece acotado siempre y cuando el valor absoluto del menor elemento no nulo en Λ está acotado con respecto al cero.

Cuando ''k'' = 0, la condición 2 implica que ''F'' depende solo de la clase de [[similitud]] de la grilla. Este es un caso especial muy importante, pero las únicas formas modulares de peso 0 son las constantes. Si se elimina la condición 3 y se permite que la función tenga polos, entonces existen ejemplos con peso 0: ellas son denominadas ''funciones modulares''.

Esta situación puede compararse en forma favorable con el caso que resulta cuando se realiza la búsqueda de funciones en el [[espacio proyectivo]] P(''V''): en este caso, uno idealmente desea encontrar funciones ''F'' en el espacio vectorial ''V'' que son polinomios en las coordenadas de ''v''≠ 0 en ''V'' y satisfacen la ecuación ''F''(''cv'') = ''F''(''v'') para todos los valores ''c'' no nulos. Desafortunadamente, las únicas funciones de este tipo son constantes. Si se permite denominadores (funciones racionales en vez de polinomios), se puede permitir que ''F'' sea la relación entre dos polinomios [[Función homogénea|homogéneos]] del mismo grado. En forma alternativa, podemos restringirnos a los polinomios y relajar la dependencia de ''c'', permitiendo que ''F''(''cv'') = ''c''<sup>''k''</sup>''F''(''v''). Las soluciones son por lo tanto polinomios homogéneos de grado ''k''. Por una parte, ellos conforman un [[espacio vectorial]] de dimensión finita para cada ''k'', y por otra parte, si se permite que el valor ''k'' varíe, es posible encontrar numeradores y denominadores para construir todas las funciones racionales que son realmente funciones del espacio proyectivo subyacente P(''V'').
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One might ask, since the homogeneous polynomials are not really functions on P(''V''), what are they, geometrically speaking?  The [[algebraic geometry|algebro-geometric]] answer is that they are ''sections'' of a [[sheaf (mathematics)|sheaf]] (one could also say a [[vector bundle|line bundle]] in this case).  The situation with modular forms is precisely analogous.

-->

==Referencias==
{{Listaref}}

== Bibliografía ==
* [[Jean-Pierre Serre]]: ''A Course in Arithmetic''. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. ''Chapter VII provides an elementary introduction to the theory of modular forms''.
* [[Tom M. Apostol]], ''Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory'' (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
* [[Gorō Shimura]]: ''Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions''. [[Princeton University Press]], Princeton, N.J., 1971. ''Provides a more advanced treatment.''
* Stephen Gelbart: ''Automorphic forms on adele groups''. [[Annals of Mathematics Studies]] 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975. ''Provides an introduction to modular forms from the point of view of representation theory''.
* Robert A. Rankin, ''Modular forms and functions'', (1977) [[Cambridge University Press]], Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
* Stein's notes on Ribet's course [https://web.archive.org/web/20080509165246/http://modular.fas.harvard.edu/MF.html Modular Forms and Hecke Operators]
* Erich Hecke: "Mathematische Werke" , Goettingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.
* NP Skoruppa, D Zagier ''Jacobi forms and a certain space of modular forms'', Inventiones Mathematicae, 1988, Springer

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