Editando Matriz triangular (sección)

== Aplicaciones ==
Al resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma <math>Ax=b</math>, es común usar algún método de factorización para descomponer la matriz A en factores tales que simplifiquen o faciliten la solución del sistema, tenemos por ejemplo la [[factorización LU]] que descompone A en dos matrices triangulares, una inferior (Lower) <math>L</math>,  y otra superior (Upper) <math>U</math>, tal que <math>A=LU</math>, obteniendo el sistema equivalente <math>LUx=b</math>, que reemplazando <math>Ux</math> por <math>y</math> puede resolverse separadamente para <math>Ly=b</math> y luego para <math>Ux=y</math>.
  
Un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial
:<math>\mathbf{L}\mathbf{x} = \mathbf{b}</math>

o

:<math>\mathbf{U} \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>

es muy fácil de resolver. El primer sistema puede escribirse como 

:<math>
\begin{matrix}
l_{1,1} x_1 &   &             &            &            & = &    b_1 \\
l_{2,1} x_1 & + &  l_{2,2}x_2 &            &            & = &    b_2 \\
     \vdots &   &      \vdots &     \ddots &            &   & \vdots \\
l_{m,1} x_1 & + & l_{m,2} x_2 & + \ldots + & l_{m,m}x_m & = &   b_m  \\
\end{matrix}
</math>

que puede resolverse siguiendo un simple [[algoritmo recursivo]]

:<math> x_1 = \frac{b_1}{l_{1,1}}, </math>
:<math> x_2 = \frac{b_2 - l_{2,1} x_1}{l_{2,2}}, </math>
::<math> \vdots </math>
:<math> x_m = \frac{b_m - \sum_{i=1}^{m-1} l_{m,i}x_i}{l_{m,m}}. </math>

De forma análoga puede resolverse un sistema dado por una matriz triangular superior.

La [[factorización de Cholesky]] y la [[factorización LDLT]], son otros métodos para descomponer la matriz A en matrices triangulares, aunque estos requieren que la matriz A sea simétrica y adicionalmente para la [[factorización de Cholesky]] que sea [[definida positiva]].