Editando Defecto angular (sección)

== Teorema de Descartes ==
El teorema de Descartes sobre el "defecto total" de un poliedro establece que si el poliedro es [[Homeomorfismo|homeomorfo]] a una esfera (es decir, topológicamente equivalente a una esfera, de modo que puede deformarse para acomodarse sobre una esfera estirándose sin romperse), el "defecto total", es decir, la suma de los defectos de todos los vértices, es dos círculos completos (o 720° o 4π radianes). El poliedro no necesita ser convexo.<ref>[[René Descartes|Descartes, René]], ''Progymnasmata de solidorum elementis'', in ''Oeuvres de Descartes'', vol. X, pp. 265–276</ref> 

Una generalización dice que el número de círculos en el defecto total es igual a la [[característica de Euler]] del poliedro. Este es un caso especial del [[teorema de Gauss-Bonnet]], que relaciona la integral de la [[Curvatura de Gauss|curvatura gaussiana]] con la característica de Euler. Aquí la curvatura gaussiana se concentra en los vértices: en las caras y bordes, la curvatura gaussiana es cero y la integral de la curvatura gaussiana en un vértice es igual al defecto angular en ese punto. 

Esto se puede usar para calcular el número ''V'' de vértices de un poliedro sumando los ángulos de todas las caras y sumando el defecto total. Este total tendrá un círculo completo para cada vértice en el poliedro. Se debe tener cuidado al usar la característica de Euler correcta para el poliedro. 

El [[teorema de singularidad de Alexandrov]] da una respuesta a esta cuestión, demostrando que un [[espacio métrico]] que es localmente euclídeo, excepto por un número finito de puntos de defecto angular positivo, que se suma a 4π, se puede concretar de una manera única como la superficie de un poliedro convexo.