Involución (matemática)

Una involución es una función del tipo: $f:X\to X$ que aplicada dos veces regresa al dato inicial.

En matemática, una involución o función involutiva es una función matemática que es su propia inversa:

Definida la función:

$\begin{array}{cccc}f:& A& ⟶& A\\ & x& ⟼& y=f(x)\end{array}$

Esta función cumple la propiedad involutiva si:

$\mathrm{\forall }x\in A:f(f(x))=x$

para todo x de A, se cumple que la función de la función de x es x.

O, de otra manera:

$f(x)=y$ ;

$f(y)=x$

Propiedades

Toda involución es una aplicación biyectiva. La función identidad es un ejemplo trivial de involución:

$\begin{array}{cccc}id:& A& ⟶& A\\ & a& ⟼& b=id(a)\equiv b=a\end{array}$

esto es:

$\mathrm{\forall }a\in A:id(id(a))=a$

para todo a de A, se cumple que la identidad de la identidad de a es a.

El número de involuciones existentes en un conjunto de n elementos viene dado por la siguiente relación de recurrencia:

$a_0=a_1=1$

$a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}(sin>1)$

Los primeros términos de esta secuencia son 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, etc.

Ejemplos

Ejemplos sencillos son la multiplicación por −1 un número real:

$\begin{array}{cccc}f:& R& ⟶& R\\ & x& ⟼& y=-x\end{array}$

dado que:

$\mathrm{\forall }x\in ℝ:-(-x)=x$

Para todo x número real, se cumple que el opuesto del opuesto de x es x.

El inverso multiplicativo de números reales sin el cero:

$\begin{array}{cccc}f:& R^{\ast }& ⟶& R^{\ast }\\ & x& ⟼& y=\frac{1}{x}\end{array}$

si vemos que:

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{\ast }=ℝ\setminus \{0\}:\frac{1}{\frac{1}{x}}=x$

El complemento de un conjunto en teoría de conjuntos:

$\begin{array}{cccc}{}^c:& 𝕌& ⟶& 𝕌\\ & A& ⟼& B=A^c\end{array}$

dado que:

$\mathrm{\forall }A\in 𝕌:{(A^c)}^c=A$

Los complejos conjugados ($\overline{z}$) en variable compleja; la inversión geométrica; y cifrados como el ROT13 y el de Trithemius.

Véase también

• Función biyectiva
• Identidad
• Automorfismo

Fuentes y referencias

• Todd A. Ell; Stephen J. Sangwine (2007), «Quaternion involutions and anti-involutions», Computers & Mathematics with Applications 53 (1): 137-143, doi:10.1016/j.camwa.2006.10.029  ..